(1) 已知椭圆$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$)的右焦点为$F$，过$F$的直线交椭圆于$A,B$两点，点$C$是点$A$关于原点$O$的对称点，若$CF\perp AB$且$CF=AB$，则椭圆的离心率为_______；
(2) 已知双曲线$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a,b>0$)的右焦点为$F$，过$F$的直线交双曲线于$A,B$两点，点$C$是点$A$关于原点$O$的对称点，若$CF\perp AB$且$CF=FB$，则双曲线的离心率为_______．
已知过定点$A(-1,0)$的直线与抛物线$C:y^2=4x$交于$M,N$两点，$Q$是抛物线上不同于$M,N$的点，若直线$QM$恒过点$(1,-1)$，求证：直线$QN$也恒过定点并求出该定点的坐标．
已知椭圆$C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$)和直线$l:Ax+By=1$，$P$是直线$l$上一点，射线$OP$交椭圆于点$R$．又点$Q$在射线$OP$上且满足$|OP|\cdot |OQ|=|OR|^2$，当$P$在直线$l$上移动时，求点$Q$的轨迹方程．
已知$\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow a+\overrightarrow b$的模均在区间$[1,3]$中，则$\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b$的取值范围为______．
已知$\displaystyle \prod_{k=1}^{45}\csc^2 (2k-1)^\circ =m^n$，其中$m,n\in\mathbb N^*$且$m,n\geqslant 2$，求$m+n$的值．（提示：有三倍角公式\(\sin 3x=4\sin x\cdot \sin(60^\circ-x)\cdot \sin(60^\circ +x)\)．)
已知函数$f(x)=\dfrac{\sin x}{2+\cos x}$($x>0$)的图象恒在直线$y=kx$下方，求$k$的取值范围．
在直角坐标系中，椭圆$C_1:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$)的左、右焦点分别为$F_1,F_2$，其中$F_2$也是抛物线$C_2:y^2=4x$的焦点，点$P$为$C_1$与$C_2$在第一象限的交点，且$\left|PF_2\right|=\dfrac 53$．
(1) 求椭圆的方程；
(2) 过$F_2$且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于$M,N$两点，线段$OF_2$上存在点$T(t,0)$使得以$TM,TN$为邻边的四边形是菱形，求$t$的取值范围．
已知$f(x)=\left|x{\rm e}^x\right|$，又$g(x)=f^2(x)-tf(x)$($t\in\mathbb R$)，若满足$g(x)=-1$的$x$有四个，则$t$的取值范围是________．
已知椭圆 $C_1:\dfrac{x^2}{a^2 }+\dfrac{y^2}{b^2 }=1\left(a>b>0\right) $ 的离心率为 $\dfrac{\sqrt{2}}{ 2} $，其短轴的下端点在抛物线 $x^2=4y $ 的准线上．设 $ O$ 为坐标原点，$ M$ 是直线 $l:x=2 $ 上的动点，$ F$ 为椭圆的右焦点，过点 $F $ 作 $OM $ 的垂线与以 $OM $ 为直径的圆 $C_2 $ 相交于 $P$，$Q $ 两点，与椭圆 $C_1 $ 相交于 $ A$，$B$ 两点，如图所示．
(1)求椭圆 $C_1 $ 的方程．
(2)若 $\left|PQ\right|=\sqrt{6} $，求圆 $C_2 $ 的方程；
(3)设 $C_2 $ 与四边形 $OAMB $ 的面积分别为 $S_1,S_2 $，若 $S_1=\lambda S_2 $，求 $\lambda $ 的取值范围．
