每日一题[894]函数与方程

已知$f(x)=\left|x{\rm e}^x\right|$,又$g(x)=f^2(x)-tf(x)$($t\in\mathbb R$),若满足$g(x)=-1$的$x$有四个,则$t$的取值范围是________.


cover正确答案是$\left({\rm e}+{\rm e}^{-1},+\infty\right)$.

分析与解 方程$g(x)=-1$,即\[f^2(x)-tf(x)+1=0,\]也即\[t=f(x)+\dfrac{1}{f(x)}.\]考虑复合函数\[y=u+\dfrac 1u,u=\left|x{\rm e}^x\right|,\]以及直线$y=t$.由于函数$u=\left|x{\rm e}^x\right|$的图象如图,因此函数$y=u+\dfrac 1u$的图象和直线$y=t$有两个公共点,且它们的横坐标$u_1,u_2$满足$0<u_1<{\rm e}^{-1}<u_2$.因此对应的$t$的取值范围是$\left({\rm e}+{\rm e}^{-1},+\infty\right)$.其他方法

令$u=f(x)$,则有$u^2-tu+1=0$,记此方程的两根为$u_1,u_2$,则方程$g(x)=-1$的根即$u_i=f(x),i=1,2$的根.画出$u=f(x)$的图象:结合图象知$u_i=f(x),i=1,2$有四个根时有$$u_1\in(0,{\rm e}^{-1}),u_2\in({\rm e}^{-1},+\infty),$$即一元二次方程$u^2-tu+1=0$的两根分别在区间$(0,{\rm e}^{-1}),({\rm e}^{-1},+\infty)$上.

记$g(x)=x^2-tx+1$,因为$g(0)=1>0$,所以$g({\rm e}^{-1})<0$即可,解得$t>{\rm e}+{\rm e}^{-1}$.

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