已知$x\in \left(0,\dfrac{\pi}2\right)$．
(1) 求证：$\sin x+\tan x>2x$；
(2) 求证：$2\sin x+\tan x>3x$．
已知直线$y=\dfrac{2\sqrt 5}5x$与双曲线$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a,b>0$)交于$A,B$两点，若在双曲线上存在点$P$，使得$|PA|=|PB|=\dfrac{\sqrt 3}2|AB|$，则双曲线的离心率$e$为______．
设函数$f(x)=x^2$($0\leqslant x\leqslant 1$)，记$H(a,b)$为函数$f(x)$的图象上的点到直线$y=ax+b$的距离的最大值，则$H(a,b)$的最小值是________．
1．已知$P$是双曲线$C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$上一点，过$P$作$C$的两条渐近线的垂线，垂足分别为$A,B$，则$\overrightarrow {PA}\cdot \overrightarrow {PB}=$_______．
已知棱长为$2$的正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$的中心为$O$，$P$是正方体表面上一点，且直线$OP$与直线$AB_1$所成的角为$\dfrac{\pi}4$，求$OP$的取值范围．
已知函数$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$，$g(x)=3x^2+2ax+b$．若$f(x)$在$(0,1)$上单调递减，则下列结论正确的是________．
(1)$f(0)\cdot f(1)\leqslant 0$；
(2)$g(0)\cdot g(1)\geqslant 0$；
(3)$a^2-3b$有最小值．
设数列$\{x_n\}$中，$x_1\in (-1,1)$，$x_{n+1}=(-1)^{n+1}\dfrac{3x_n-1}{3-x_n},n\in\mathbb N^*$，若数列$\{x_n\}$的最大值为$x_3$，求$x_1$的取值范围．
已知二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$，$a,b,c\in\mathbb N^*$，函数$f(x)$在$\left(-\dfrac 14,\dfrac 14\right)$上有两个零点，求$a+b+c$的最小值．
(2016年北京市海淀区高三期末考试)已知$f(x)={\rm e}^{-|x|}+\cos \pi x$，给出下列命题：
(1) $f(x)$的最大值为$2$；
(2) $f(x)$在$(-10,10)$内的零点之和为$0$；
(3) $f(x)$的任何一个极大值都大于$1$．
其中，所有正确命题的序号是________．
函数$f(x)=(x-a)^2(x+b){\rm e}^x$，其中$a,b\in\mathbb R$．
(1) 当$a=0$，$b=-3$时，求函数$f(x)$的单调区间；
(2) 当$a=0$时，若$x=0$是$f(x)$的极大值点，求$b$的取值范围；
(3) 若$x=a$是$f(x)$的极大值点，设$x_1,x_2,x_3$是$f(x)$的$3$个极值点．是否存在实数$b$和$x_4$，使得$x_1,x_2,x_3,x_4$的某个排列构成等差数列？若存在，求出所有的$b$和对应的$x_4$；若不存在，请说明理由．
