每日一题[781]图象间的距离

设函数$f(x)=x^2$($0\leqslant x\leqslant 1$),记$H(a,b)$为函数$f(x)$的图象上的点到直线$y=ax+b$的距离的最大值,则$H(a,b)$的最小值是________.


cover正确答案是$\dfrac{\sqrt 2}{16}$.

分析与解 记$A(0,0)$,$B(1,1)$,且$d(P)$表示点$P$到直线$y=ax+b$的距离.

情形一 当$a\geqslant 2$或$a\leqslant 0$时,有\[\begin{split}H(a,b)&=\max\left\{d(A),d(B)\right\}\\&=\max\left\{\dfrac{|b|}{\sqrt{a^2+1}},\dfrac{|a+b-1|}{\sqrt{a^2+1}}\right\}\\&\geqslant \dfrac 12\left(\dfrac{|b|}{\sqrt{a^2+1}}+\dfrac{|a+b-1|}{\sqrt{a^2+1}}\right)\\&\geqslant \dfrac{|a-1|}{2\sqrt{a^2+1}}\\&\geqslant \dfrac 1{2\sqrt 5}.\end{split}\]

情形二 当$0<a<2$时,设函数图象上在点$C$处的切线与直线$y=ax+b$平行,则$C\left(\dfrac a2,\dfrac {a^2}4\right)$,如图.
此时有\[H(a,b)=\max\left\{d(A),d(B),d(C)\right\}=\max\left\{\dfrac{|b|}{\sqrt{a^2+1}},\dfrac{|a+b-1|}{\sqrt{a^2+1}},\dfrac{\left|\dfrac {a^2}4+b\right|}{\sqrt{a^2+1}}\right\},\]从而\[
\begin{cases}
H(a,b)\geqslant \dfrac 12\left(\dfrac{|b|}{\sqrt{a^2+1}}+\dfrac{\left|\dfrac {a^2}4+b\right|}{\sqrt{a^2+1}}\right),\\H(a,b)\geqslant \dfrac 12\left(\dfrac{|a+b-1|}{\sqrt{a^2+1}}+\dfrac{\left|\dfrac {a^2}4+b\right|}{\sqrt{a^2+1}}\right),\end{cases}
\]进而\[\begin{cases}H(a,b)\geqslant \dfrac{a^2}{8\sqrt{a^2+1}},\\H(a,b)\geqslant \dfrac{(2-a)^2}{8\sqrt{a^2+1}},\end{cases}\]
当$a>1$时,有\[H(a,b)\geqslant \dfrac{a^2}{8\sqrt{a^2+1}}=\dfrac{a}{8\sqrt{1+\dfrac{1}{a^2}}}>\dfrac{1}{8\sqrt 2}, \]当$a<1$时,有\[H(a,b)\geqslant \dfrac{(2-a)^2}{8\sqrt{a^2+1}}=\dfrac{2-a}{8\sqrt{\left(\dfrac{a}{2-a}\right)^2+\dfrac{1}{(2-a)^2}}}>\dfrac{1}{8\sqrt 2},\]当$a=1$时,有$H(a,b)\geqslant \dfrac{\sqrt 2}{16}$,且当$b=-\dfrac 18$时可以取得等号,于是$H(a,b)$的最小值为$\dfrac{\sqrt 2}{16}$.

综上所述,所求的最小值为$\dfrac{\sqrt 2}{16}$.

 本题是通过严格代数计算得到结果的,还有一种常用的处理方法是调整法,通过数形结合得到答案,具体可参考每日一题[107]调整法解最值问题

此条目发表在每日一题分类目录,贴了标签。将固定链接加入收藏夹。

发表评论