每日一题[783]微妙的平衡

已知$x\in \left(0,\dfrac{\pi}2\right)$.
(1) 求证:$\sin x+\tan x>2x$;
(2) 求证:$2\sin x+\tan x>3x$.


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证明 先证明(2).令$f(x)=2\sin x+\tan x-3x$,则$f(x)$的导函数$$f'(x)=2\cos x+\dfrac{1}{\cos^2x}-3=\cos x +\cos x+\dfrac{1}{\cos^2x}-3\geqslant 0,$$于是$f(x)$在区间$\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$上单调递增,因此$f(x)>0$,命题(2)得证.
在(2)的基础上,我们有$$\sin x+\tan x+x>\sin x+\tan x+\sin x=2\sin x+\tan x>3x,$$于是$$\sin x+\tan x>2x,$$于是命题(1)得证.
用类似的方法,容易得知当$x\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$时,不等式$3\sin x+\tan x>4x$不再恒成立.

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