每日一题[782]直线与双曲线

已知直线$y=\dfrac{2\sqrt 5}5x$与双曲线$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a,b>0$)交于$A,B$两点,若在双曲线上存在点$P$,使得$|PA|=|PB|=\dfrac{\sqrt 3}2|AB|$,则双曲线的离心率$e$为______.


正确答案是$\sqrt 3$.

分析与解 法一 不妨设$|OA|=1$,则$|OP|=\sqrt 2$.进而可设$A(\cos\theta,\sin\theta)$,$P\left(\sqrt 2\cos\left(\theta+\dfrac{\pi}2\right),\sqrt 2\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}2\right)\right)$,其中$\tan\theta=\dfrac{2\sqrt 5}5$.这样就有
\[\begin{cases}
\dfrac{\cos^2\theta}{a^2}-\dfrac{\sin^2\theta}{b^2}=1,\\\dfrac{\left[\sqrt 2\cos\left(\theta+\dfrac{\pi}2\right)\right]^2}{a^2}-\dfrac{\left[\sqrt 2\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}2\right)\right]^2}{b^2}=1,\end{cases}\]即
\[\begin{cases}\dfrac {5}{9a^2}-\dfrac{4}{9b^2}=1,\\\dfrac{4}{9a^2}-\dfrac{5}{9b^2}=\dfrac 12,\end{cases}\]
解得\[a^2=\dfrac 13,b^2=\dfrac 23,\]于是$e^2=\dfrac{a^2+b^2}{a^2}=3$,所求离心率$e=\sqrt 3$.

法二 显然点$P$在$AB$的中垂线上,考虑$OP$与双曲线交于另一点$Q$,则$PQ$的方程为$y=-\dfrac {\sqrt 5}2x$,为了避免重复联立,我们联立直线$y=kx$与双曲线的方程:$$\begin{cases} y=kx,\\b^2x^2-a^2y^2=a^2b^2,\end{cases}$$解得$x^2=\dfrac{a^2b^2}{b^2-a^2k^2},$于是$$\dfrac{|AB|^2}{|PQ|^2}=\dfrac 12=\dfrac {(1+k^2)\cdot\dfrac{a^2b^2}{b^2-a^2k^2}}{\left(1+\dfrac 1{k^2}\right)\cdot\dfrac{a^2b^2}{b^2-a^2\left(-\dfrac 1k\right)^2}},$$将$k^2=\dfrac 45$代入整理得$b^2=2a^2$,于是所求离心率为$\sqrt 3$.

此条目发表在每日一题分类目录,贴了标签。将固定链接加入收藏夹。

发表评论