每日一题[777]二次函数的零点分布

已知二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$,$a,b,c\in\mathbb N^*$,函数$f(x)$在$\left(-\dfrac 14,\dfrac 14\right)$上有两个零点,求$a+b+c$的最小值.


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正确答案是$41$.

分析与解 根据题意,考虑到$f(0)=c>0$,于是条件等价于$$\begin{cases}-\dfrac 14<-\dfrac b{2a}<0,\\ \dfrac a{16}-\dfrac b4+c>0,\\ b^2-4ac>0,\end{cases}$$即$$2b<a,\dfrac{4b-a}{16}<c<\dfrac{b^2}{4a}.$$下面证明$a+b+c$的最小值为$41$,当$(a,b,c)=(29,11,1)$时取得.

由于$c$是正整数,于是$$\dfrac{b^2}{4a}> 1,$$从而$$\dfrac 12a>b> 2\sqrt{a},$$这样就得到了$a>16$,进而$$b> 2\sqrt{a}>8,$$于是$b\geqslant 9$,而$a>2b\geqslant 18$,于是$a\geqslant 19$.

当$b\geqslant 13$时,有$$a+b+c>\dfrac{20b+15a}{16}\geqslant \dfrac{50b+15}{16}>41.$$

当$9\leqslant b\leqslant 12$时,有$$\dfrac{b^2}{4a}\leqslant \dfrac{12^2}{4\cdot 19}<2,$$于是$c=1$,且$$4b-16<a<\dfrac 14b^2.$$
容易验证当$b=9,10$时,无解;当$b=11$时,$(a,b,c)=(29,11,1)$;
当$b=12$时,$a+b+c$的最小值当$(a,b,c)=(33,12,1)$时取得.

综上所述,$a+b+c$的最小值为$41$,当$(a,b,c)=(29,11,1)$时取得.

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