Math173

实数${a_1} , {a_2} , \cdots,{a_{2017}}$满足${a_1} + {a_2} + \cdots + {a_{2017}} = 0$，且$$\left| {{a_1} - 2{a_2}} \right| = \left| {{a_2} - 2{a_3}} \right| = \cdots = \left| {{a_{2016}} - 2{a_{2017}}} \right|= \left| {{a_{2017}} - 2{a_1}} \right|.$$求证：${a_1} = {a_2} = \cdots = {a_{2017}} = 0$．

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在$6 \times 6$的表中停放$3$辆完全相同的红色车和$3$辆完全相同的黑色车，每一行、每一列只有一辆车，每辆车占一格，共有（　　）种停放方法．

A．$720$
B．$518400$
C．$20$
D．$14400$

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定义在${\bf{R}}$上的函数$f\left( x \right) = \dfrac{{{4^x}}}{{{4^x} + 2}}$，$${S_n} = f\left( {\dfrac{1}{n}} \right) + f\left( {\dfrac{2}{n}} \right) + \cdots + f\left( {\dfrac{{n - 1}}{n}} \right),n = 2,3, \cdots .$$(1) 求${S_n}$； 

(2) 是否存在常数$M > 0$，$\forall n \geqslant 2$，有$$\dfrac{1}{{{S_2}}} + \dfrac{1}{{{S_3}}} + \cdots + \dfrac{1}{{{S_{n + 1}}}} \leqslant M.$$

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在$\triangle ABC$中，$\tan A:\tan B:\tan C = 1:2:3$，求$\dfrac{{AC}}{{AB}}$．

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如图，曲线$y = \sqrt x $上的点${P_i}\left( {i = 1, 2, \cdots , n, \cdots } \right)$与$x$轴正半轴上的点${Q_i}$及原点$O$构成一系列正三角形${P_i}{Q_{i-1}}{Q_i}({Q_0} = O)$，记${a_n} = \left| {{Q_n}{Q_{n-1}}} \right|$．

(1)求${a_1}$的值；

(2)求数列$\{ {a_n}\} $的通项公式；

(3)求证：当$n \geqslant 2$时，$$\dfrac{1}{{{a_n}^2}} + \dfrac{1}{{{a_{n + 1}}^2}} + \cdots + \dfrac{1}{{{a_{2n}}^2}} < \dfrac{3}{2}.$$

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在棱长为$a$的正方体$ABCD - {A_1}{B_1}{C_1}{D_1}$中，$E$为棱$AB$的中点．

(1)求四面体$E - {B_1}{D_1}C$的体积；

(2)求点$C$到平面$EA_1C_1$的距离．

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如图，已知$A,B$两点在椭圆$C:\dfrac{{{x^2}}}{m} + {y^2} = 1$（$m > 1$），直线$AB$上两个不同的点$P,Q$满足$\left| {AP} \right|:\left| {PB} \right| = \left| {AQ} \right|:\left| {QB} \right|$，且$P$点的坐标为$\left( {1, 0} \right)$，求点$Q$的轨迹方程．

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设$\triangle ABC$的三边$a,b,c$ 上的高分别为$h_a,h_b,h_c$ ，满足$3\cdot\dfrac{a}{{{h_a}}} - \dfrac{b}{{{h_b}}} + 6\cdot\dfrac{c}{{{h_c}}} = 6$．

(1)若$\triangle ABC$的面积为$S$，试证$S = \dfrac{1}{{12}}(3{a^2} - {b^2} + 6{c^2})$；

(2)用$b,c$ 表示$\sin \left( {A + \dfrac{\pi}{4}} \right)$，并求$A$的大小；

(3)根据上述解题过程所得到的$\triangle ABC$结论，请你设计一个与三角形有关的类似结论，并证明你所给的结论．

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数列$\left\{ {{a_n}} \right\}$满足条件：${a_1} = 1$，${a_n} = 1 + \dfrac{1}{{{a_{n - 1}}}}$（$n \geqslant 2$）．试证明：

(1)$1 \leqslant {a_n} \leqslant 2$，$n \in {{\mathbb{N}}^ * }$；

(2)$\dfrac{1}{3} \leqslant \dfrac{{\left| {{a_{n + 1}} - {a_n}} \right|}}{{\left| {{a_n} - {a_{n - 1}}} \right|}} \leqslant \dfrac{1}{2}$，$n \geqslant 2$且$n \in {{\mathbb {N}}^ * }$．

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