Math173

已知函数$f(x)={\rm e}^x\left(2-{\rm e}^x\right)+(a+2)\left|{\rm e}^x-1\right|-a^2$的零点个数为$3$，则实数$a$的取值范围是________．

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设$F_1,F_2$为双曲线$C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a,b>0$)的左、右焦点，双曲线$C$与圆$x^2+y^2=r^2$的一个交点为$P$，若$\dfrac{|PF_1|+|PF_2|}{r}$的最大值为$4\sqrt 2$，则双曲线的离心率$e$为________．

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已知函数$f(x)=2x|x|$，若对任意的$x\geqslant 1$，$f(x-m)-mf(x)<0$恒成立，则实数$m$的取值范围是________．

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已知函数$f(x)=\begin{cases} \ln x,&x\geqslant 1,\\ 1-\dfrac x2,&x<1,\end{cases}$若$F(x)=f(f(x)+1)+m$有两个零点$x_1,x_2$，则$x_1+x_2$的取值范围是______．

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用$6$种不同的颜色对正四棱锥$P-ABCD$的$8$条棱染色，每个顶点出发的棱的颜色各不相同，不同的染色方案共有________ .

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已知$f(x)=\ln x-x^2+x$．
(1) 求函数$f(x)$的单调区间；
(2) 证明：当$a\geqslant 2$时，关于$x$的不等式$f(x)<\left(\dfrac a2-1\right)x^2+ax-1$恒成立；
(3) 若正实数$x_1,x_2$满足 $$f(x_1)+f(x_2)+2\left(x_1^2+x_2^2\right)+x_1x_2=0,$$ 证明：$x_1+x_2>\dfrac{\sqrt 5-1}2$．

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在锐角$\triangle ABC$中，角$A,B,C$所对的边分别为$a,b,c$，若$\dfrac{b^2}{ac}\geqslant \dfrac{\cos^2B}{\cos A\cdot\cos C}$，则$B$的取值范围是____．

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设$a_n=n(n+1)\cdot 2^n$，$n\in\mathbb N^*$．
(1) 求证：$\dfrac{3}{a_1}+\dfrac{4}{a_2}+\cdots +\dfrac{n+2}{a_n}<1$；
(2) 求证：$\dfrac{4}{a_1}+\dfrac{5}{a_2}+\cdots +\dfrac{n+3}{a_n}<\dfrac 43$．

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已知$A,B$为双曲线$C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$($b>a>0$)上的两点，且以线段$AB$为直径的圆通过坐标原点$O$，则$\triangle AOB$面积的最小值为________．

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