每日一题[856]数列与不等式

数列$\left\{ {{a_n}} \right\}$满足条件:${a_1} = 1$,${a_n} = 1 + \dfrac{1}{{{a_{n - 1}}}}$($n \geqslant 2$).试证明:

(1)$1 \leqslant {a_n} \leqslant 2$,$n \in {{\mathbb{N}}^ * }$;

(2)$\dfrac{1}{3} \leqslant \dfrac{{\left| {{a_{n + 1}} - {a_n}} \right|}}{{\left| {{a_n} - {a_{n - 1}}} \right|}} \leqslant \dfrac{1}{2}$,$n \geqslant 2$且$n \in {{\mathbb {N}}^ * }$.


cover

分析与解 (1)$n = 1$时显然成立,若$1 \leqslant {a_n} \leqslant 2$,则$${a_{n + 1}} = 1 + \dfrac{1}{{{a_n}}} \geqslant 1,{a_{n + 1}} = 1 +\dfrac{1}{{{a_n}}} \leqslant 1 + \dfrac{1}{1} = 2,$$所以命题得证.

(2)因为$${a_{n + 1}}-{a_n}=\dfrac{1}{{{a_n}}} - \dfrac{1}{{{a_{n - 1}}}}=\dfrac{{{a_{n - 1}} - {a_n}}}{{{a_n}{a_{n - 1}}}},$$所以$$\left|{\dfrac{{{a_{n + 1}} - {a_n}}}{{{a_n} - {a_{n - 1}}}}}\right|=\left|{\dfrac{1}{{{a_n}{a_{n - 1}}}}}\right|=\dfrac{1}{{{a_n}{a_{n - 1}}}}.$$所以,原命题即$2 \leqslant {a_n}{a_{n + 1}} \leqslant 3$,$n = 1, 2 , 3 , \cdots $.

事实上${a_n}_{ + 1} = 1 + \dfrac{1}{{{a_n}}}$,所以${a_n}{a_{n + 1}} = {a_n} + 1 \in \left[ {2,3} \right]$(由(1)).

所以,原命题得证.

此条目发表在每日一题分类目录,贴了标签。将固定链接加入收藏夹。

发表评论