已知函数$f(x)=\ln x+\dfrac ax$，其中$a>0$．
(1) 若函数$f(x)$有零点，求实数$a$的取值范围；
(2) 求证：当$a\geqslant \dfrac{2}{\rm e}$，$b>1$时，$f(\ln b)>\dfrac 1b$．
设$\triangle ABC$的三边长分别为$a,b,c$，且$a\leqslant b\leqslant c$，定义$\triangle ABC$的倾斜度\[t=\max\left\{\dfrac ab,\dfrac bc,\dfrac ca\right\}\cdot \min\left\{\dfrac ab,\dfrac bc,\dfrac ca\right\}.\]
(1) 若$\triangle ABC$为等腰三角形，求$\triangle ABC$的倾斜度；
(2) 若$a=1$，求$t$的取值范围．
已知函数$f(x)={\log_2}x-2{\log_2}(x+c)$，其中$c>0$．若对于任意的$x\in (0,+\infty)$，都有$f(x)\leqslant 1$，求实数$c$的取值范围．
已知抛物线$y=\dfrac 14x^2$和$y=-\dfrac{1}{16}x^2+5$所围成的封闭曲线如图所示，给定$A(0,a)$，若在此时封闭曲线上恰有三对不同的点，满足每一对点关于点$A$对称，求实数$a$的取值范围．
已知$f\left( x \right)$是定义在$\left( {0 , + \infty } \right)$上的可导函数，满足$f\left( x \right) > 0$，且$f\left( x \right) + f'\left( x \right) < 0$．
(1) 讨论函数$F\left( x \right) = {{\rm{e}}^x}f\left( x \right)$的单调性；
(2)设$0 < x < 1$，比较$xf\left( x \right)$与$\dfrac{1}{x}f\left( {\dfrac{1}{x}} \right)$的大小．
如图，四面体$ABCD$中，$AB$和$CD$为对棱．设$AB = a$，$CD = b$，且异面直线$AB$与$CD$的距离为$d$，夹角为$\theta $．
(1)若$\theta = \dfrac{{{\pi }}}{2}$，且棱$AB$垂直于平面$BCD$，求四面体$ABCD$的体积；
(2) 当$\theta = \dfrac{{{\pi }}}{2}$时，证明：四面体$ABCD$的体积为一定值；
(3)求四面体$ABCD$的体积．
已知$ax + y = 2a + 3\;$（$a$为正常数，$x \geqslant 0 ,y \geqslant 0$），若${x^2} + {y^2}$的最大值为$S$，且$S \in \left[ {49,121} \right]$，则$a$的取值范围为______．
已知函数$f(x) = \dfrac{{a + 3bx + \sin x + bx\cos x}}{{3 + \cos x}}$（$a , b \in {\mathbb{R}}$），若$f(x)$在${\mathbb {R}}$上既有最大值，又有最小值，且最大值与最小值的和为$6$，则$a + b = $______．
已知$ - 6 \leqslant {x_i} \leqslant 10$（$i = 1, 2, \cdots , 10$），$\sum\limits_{i = 1}^{10} {{x_i}} = 50$，当$\sum\limits_{i = 1}^{10} {{x_i}^2} $取得最大值时，在${x_1}, {x_2}, \cdots , {x_{10}}$这$10$个数中等于$-6$的数共有_____个．
已知椭圆$\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$（$a > b > 0$），${F_1}$、${F_2}$为其左右焦点，$P$为椭圆$C$上任意一点，$I$为$\triangle P{F_1}{F_2}$内切圆圆心，点$G$满足$\overrightarrow {P{F_1}}+ \overrightarrow {P{F_2}}= 3\overrightarrow {PG} $且$\overrightarrow {GI}= \lambda \overrightarrow {{F_1}{F_2}} $（$\lambda\in {\mathbb {R}}$且$\lambda\ne 0$），则椭圆的离心率是________．
