每日一题[882]钟形曲线

已知抛物线$y=\dfrac 14x^2$和$y=-\dfrac{1}{16}x^2+5$所围成的封闭曲线如图所示,给定$A(0,a)$,若在此时封闭曲线上恰有三对不同的点,满足每一对点关于点$A$对称,求实数$a$的取值范围.

 


cover
正确答案是$\left(\dfrac 52,4\right)$.

分析与解 问题即将封闭曲线关于$x$轴的镜像向上平移,使得原封闭曲线与变换后的曲线恰好有$6$个不同的公共点,如图.

两个临界状态对应的$a=\dfrac 52$和$a=4$,于是实数$a$的取值范围是$\left(\dfrac 52,4\right)$.

代数方法

首先,在同支抛物线上恰好存在一对关于$y$轴对称的点满足要求;另两对点必然是分别在两支抛物线上的,且另两对点分别关于$y$轴对称,于是设$M\left(m,\dfrac 14m^2\right)$为抛物线$y=\dfrac 14x^2$上一点,且$m\in(-4,0)$,它关于$A$的对称点$N\left(-m,2a-\dfrac 14m^2\right)$在抛物线$y=-\dfrac 1{16}x^2+5$上,所以有$$2a-\dfrac 14m^2=-\dfrac 1{16}m^2+5,$$于是有$$a=\dfrac 3{32}m^2+\dfrac 52,m\in(-4,0),$$所以$a$的取值范围为$\left(\dfrac 52,4\right)$.

此条目发表在每日一题分类目录,贴了标签。将固定链接加入收藏夹。

发表评论