已知函数$f(x)=\dfrac{x+1}{x^2+1}$，则关于$x$的方程$\left|f(x+1)-f(x)\right|=1$的实数解的个数为_______．
已知$a,b\geqslant 0$，$a+b=1$，则$3\sqrt{1+2a^2}+2\sqrt{40+9b^2}$的最大值是______，最小值是_______．
已知$a,b,c$是不全为$0$的实数，求证：$5\left[a^2+(b+c)^2\right]>7(ab+bc+ca)$．
已知函数$f(x)=\sin x+\tan x$，项数为$2m+1$的等差数列$\{a_n\}$满足$a_n\in\left(-\dfrac{\pi}2,\dfrac{\pi}2\right)$，且公差$d\ne 0$，若$f(a_1)+f(a_2)+\cdots+f(a_{2m+1})=0$，求证：$a_{m+1}=0$．
已知向量$\overrightarrow a,\overrightarrow b$的夹角为$\dfrac{\pi}3$，$\left|\overrightarrow a-\overrightarrow b\right|=5$，向量$\overrightarrow c-\overrightarrow a,\overrightarrow c-\overrightarrow b$的夹角为$\dfrac{2\pi}3$，$\left|\overrightarrow c-\overrightarrow a\right|=2\sqrt 3$，求$\overrightarrow a\cdot \overrightarrow c$的最大值．
已知$P$是单位圆$O$上一点，$A(1,0)$，$B(0,1)$，直线$PA$与$y$轴交于点$M$，直线$PB$与$x$轴交于点$N$，求证：$AN\cdot BM$为定值．
已知$a,b,c,d\geqslant -1$，$a+b+c+d=0$，则$ab+bc+cd$的最大值是_____．
设$m,n\ (3\leqslant m\leqslant n)$是正整数，数列$A_m:a_1,a_2,\cdots,a_m$，其中$a_i\ (1\leqslant i\leqslant m)$是集合$\{1,2,3,\cdots,n\}$中互不相同的元素．若数列$A_m$满足：只要存在$i,j\ (1\leqslant i<j\leqslant m)$使$a_i+a_j \leqslant n$，总存在$k\ (1\leqslant k\leqslant m)$有$a_i+a_j=a_k$，则称数列$A_m$是“好数列”．
(1) 当$m=6$，$n=100$时，
(i) 若数列$A_6:11,78,x,y,97,90$是一个“好数列”，试写出$x,y$的值，并判断数列：$11,78,90,x,97,y$是否是一个“好数列”？
(ii) 若数列$A_6:11,78,a,b,c,d$是“好数列”，且$a<b<c<d$，求$a,b,c,d$共有多少种不同的取值？
(2) 若数列$A_m$是“好数列”，且$m$是偶数，证明：$\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_m}{m}\geqslant \dfrac{n+1}{2}$．
已知集合$A_n=\left\{\left(x_1,x_2,\cdots,x_n\right)\left|\ x_i\in\{-1,1\}\ (i=1,2,\cdots,n)\right.\right\}$，${\overrightarrow x},{\overrightarrow y}\in A_n$，${\overrightarrow x}=\left(x_1,x_2,\cdots,x_n\right)$，${\overrightarrow y}=\left(y_1,y_2,\cdots,y_n\right)$，其中$x_i,y_i\in\{-1,1\}\ (i=1,2,\cdots,n)$．定义${\overrightarrow x}\cdot {\overrightarrow y}=x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n$．若${\overrightarrow x}\cdot{\overrightarrow y}=0$，则称${\overrightarrow x}$与${\overrightarrow y}$正交．
(1) 若${\overrightarrow x}=(1,1,1,1)$，写出$A_4$中与${\overrightarrow x}$正交的所有元素；
(2) 令$B=\left\{{\overrightarrow x}\cdot{\overrightarrow y}\left|\ {\overrightarrow x},{\overrightarrow y}\in A_n\right.\right\}$．若$m\in B$，证明：$m+n$为偶数；
(3) 若$A\subseteq A_n$，且$A$中任意两个元素均正交，分别求出$n=8,14$时，$A$中最多可以有多少个元素．
已知含有$n$个元素的正整数集$A=\left\{a_1,a_2,\cdots,a_n\right\}$($a_1<a_2<\cdots<a_n$，$n\geqslant 3$)具有性质$P$：对任意不大于$S(A)$(其中$S(A)=a_1+a_2+\cdots+a_n$)的正整数$k$，存在数集$A$的一个子集，使得该子集所有元素之和等于$k$．
(1) 写出$a_1,a_2$的值；
(2) 证明：“$a_1,a_2,\cdots,a_n$成等差数列”的充要条件是“$S(A)=\dfrac{n(n+1)}2$”；
(3) 若$S(A)=2017$，求当$n$取最小值时，$a_n$的最大值．
