Math173

在数列$\{a_n\}$中，若对任意的$n\in\mathbb N^*$，都有$\dfrac{a_{n+2}}{a_{n+1}}-\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=t$，其中$t$为常数，则称数列$\{a_n\}$为比等差数列，$t$称为比公差．现给出以下命题：
(1)等比数列一定是比等差数列，等差数列不一定是比等差数列；
(2)若数列$\{a_n\}$满足$a_n=\dfrac{2^{n-1}}{n^2}$，则数列$\{a_n\}$是比等差数列，且比公差$t=\dfrac 12$；
(3)若数列$\{a_n\}$满足$a_1=1$，$a_2=2$，$a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$($n\geqslant 3$)，则该数列不是比等差数列；
(4)若$\{a_n\}$是等差数列，$\{b_n\}$是等比数列，则数列$\{a_nb_n\}$是比等差数列．
其中所有真命题的序号是_______．

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已知$f(x)=\ln x-x^3+2{\rm e}x^2-ax$有$2$个零点，求实数$a$的取值范围．

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已知空间四边形$ABCD$的四个顶点都在球$O$的球面上，$E,F$分别是$AB,CD$的中点，且$EF\perp AB$，$EF\perp CD$．若$AB=EF=4$，$CD=8$，则球$O$的半径为_______． 继续阅读 →

已知数列$a_n=\dfrac{2^n}3$，$n\in\mathbb N^*$，$b_n=\left[a_n\right]$，其中$[x]$表示$x$的整数部分，则数列$\{b_n\}$的前$2n$项和为_______．

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已知函数$f(x)={\rm e}^x-ax-1$，$g(x)=\ln x-ax+a$，若存在$x_0\in (1,2)$，使得$f(x_0)g(x_0)<0$，则实数$a$的取值范围是_______．

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已知椭圆$E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$)的长轴上一点$M(m,0)$，垂直于$x$轴直线$l$与$x$轴交于点$N\left(\dfrac{a^2}{m},0\right)$．过$M$且斜率不为$0$的直线与椭圆交于$A,B$两点，分别过$A,B$作直线$l$的垂线，垂足为$A_1,B_1$．设$\triangle MAA_1$，$\triangle MBB_1$，$\triangle A_1B_1M$的面积分别为$S_1,S_2,S_3$，求证：$\dfrac{S_1S_2}{S_3^2}$为定值．

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已知$\dfrac{\cos^3\alpha}{\cos\beta}+\dfrac{\sin^3\alpha}{\sin\beta}=1$，求证：$\left(\dfrac{\cos\beta}{\cos\alpha}-\dfrac{\sin\beta}{\sin\alpha}\right)\left(\dfrac{\cos\beta}{\cos\alpha}+\dfrac{\sin\beta}{\sin\alpha}+1\right)=0$．

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求下列函数的值域：

(1) $y=2\sqrt{x^2+1}-x$；

(2) $y=\sqrt{4x^2-8x+3}+2x$．

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若离散型随机变量$X,Y$满足$2\leqslant X\leqslant 3$，且$XY=1$，则$E(X)E(Y)$的取值范围为_______．

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