每日一题[906]论证与构造

已知含有$n$个元素的正整数集$A=\left\{a_1,a_2,\cdots,a_n\right\}$($a_1<a_2<\cdots<a_n$,$n\geqslant 3$)具有性质$P$:对任意不大于$S(A)$(其中$S(A)=a_1+a_2+\cdots+a_n$)的正整数$k$,存在数集$A$的一个子集,使得该子集所有元素之和等于$k$.

(1) 写出$a_1,a_2$的值;
(2) 证明:“$a_1,a_2,\cdots,a_n$成等差数列”的充要条件是“$S(A)=\dfrac{n(n+1)}2$”;
(3) 若$S(A)=2017$,求当$n$取最小值时,$a_n$的最大值.


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分析与解 (1) $a_1=1$,$a_2=2$.

(2) 根据第(1)小题的结果,若$a_1,a_2,\cdots,a_n$成等差数列,那么有\[a_n=n,n\in\mathbb N^*,\]于是\[S(A)=1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}2.\]又由于$a_1<a_2<\cdots<a_n$,于是$a_i\geqslant i$,其中$i=1,2,\cdots,n$.因此\[S(A)\geqslant 1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}2,\]等号当且仅当$a_n=n,n\in\mathbb N^*$时取得.因此当$S(A)=\dfrac{n(n+1)}2$时,$a_1,a_2,\cdots,a_n$成等差数列.

综上所述,原命题得证.

(3) $a_n$的最大值为$1009$,这是因为如果$a_n\geqslant 1010$,那么\[a_1+a_2+\cdots+a_{n-1}\leqslant 1007,\]这就意味着当$k=1008,1009$时,无法用满足题意的方式凑出;取\[A=\{1,2,4,8,16,32,64,128,256,497,1009\},\]即可完成符合题意的$n=11$的构造.接下来只需要证明$n$不可能小于$11$.若$n\leqslant 10$,那么数集$A$的非空子集个数为$2^n-1\leqslant 1023$,因此最多表示$1023$个不同的$k$,不符合要求.
综上所述,原命题得证.

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