每日一题[910]各有千秋

已知$P$是单位圆$O$上一点,$A(1,0)$,$B(0,1)$,直线$PA$与$y$轴交于点$M$,直线$PB$与$x$轴交于点$N$,求证:$AN\cdot BM$为定值.


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分析与解 法一 设$P(\cos\theta,\sin\theta)$,则根据截距坐标公式,可得点$N$的横坐标$x_N$和点$M$的纵坐标$y_M$分别为\[x_N=\dfrac{\cos\theta}{1-\sin\theta},y_M=\dfrac{\sin\theta}{1-\cos\theta},\]因此\[AN\cdot BM=\left(1-\dfrac{\cos\theta}{1-\sin\theta}\right)\cdot \left(1-\dfrac{\sin\theta}{1-\cos\theta}\right)=2,\]为定值.

法二 以$P$点在第三象限为例,如图,连接$AB$,$MN$.
设$\angle PBM=\theta$,则$\angle AMB=\angle ABN=45^\circ+\theta$,$\angle BAM=90^\circ-\theta=\angle ANB$.于是\[\dfrac{AN}{\sin\angle ABN}=\dfrac{AB}{\sin\angle ANB},\dfrac{BM}{\sin\angle BAM}=\dfrac{AB}{\sin \angle AMB},\]所以\[AN\cdot BM=AB^2\cdot \dfrac{\sin\angle ABN}{\sin\angle ANB}\cdot \dfrac{\sin \angle BAM}{\sin\angle AMB}=AB^2=2.\]事实上,由于$\angle ABN=\angle AMB$,$\angle NAB=\angle MBA$,于是$\triangle ABN$与$\triangle BMA$相似,即得.

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