每日一题[911]数量积的最值

已知向量$\overrightarrow a,\overrightarrow b$的夹角为$\dfrac{\pi}3$,$\left|\overrightarrow a-\overrightarrow b\right|=5$,向量$\overrightarrow c-\overrightarrow a,\overrightarrow c-\overrightarrow b$的夹角为$\dfrac{2\pi}3$,$\left|\overrightarrow c-\overrightarrow a\right|=2\sqrt 3$,求$\overrightarrow a\cdot \overrightarrow c$的最大值.


cover正确答案是$24$.

分析与解 如图,圆$P$的弦$AB$对应的劣弧的圆周角为$\dfrac{\pi}3$,弦$AB$的长度为$5$,$O$是优弧$AB$上一点,$C$是劣弧$AB$上一点,且$AC=2\sqrt 3$,则$\overrightarrow a=\overrightarrow {OA}$,$\overrightarrow b=\overrightarrow {OB}$,$\overrightarrow c=\overrightarrow{OC}$.事实上,$C$点还可能为图中$C$点位置关于$AB$对称的位置,但考虑到求$\overrightarrow a\cdot \overrightarrow c$的最大值,可以略去该位置.

法一 注意到弦$AC$为定值,其所对的角$\angle AOC$为定角,考虑到\[\left|\overrightarrow a-\overrightarrow c\right|^2=\overrightarrow a^2+\overrightarrow c^2-2\overrightarrow a\cdot \overrightarrow c=\left(\left|\overrightarrow a\right|-\left|\overrightarrow c\right|\right)^2+\left(\dfrac{2}{\cos\angle AOC}-2\right)\overrightarrow a\cdot \overrightarrow c=12\]为定值,因此当$OA=OC$时,$\overrightarrow a\cdot \overrightarrow c$最大.在$\triangle ABC$中应用正弦定理,可得\[\dfrac{AB}{\sin\angle ACB}=\dfrac{AC}{\sin\angle ABC},\]于是$\sin\angle ABC=\dfrac 35$,$\cos\angle ABC=\dfrac 45$,因此所求最大值为\[\dfrac{12}{2\cdot \dfrac 54-2}=24.\]法二 根据极化恒等式,有\[\overrightarrow {OA}\cdot \overrightarrow{OC}=OM^2-\dfrac 14AC^2,\]其中$M$为线段$AC$的中点.由于\[OM\leqslant OP+PM=\dfrac{5}{\sqrt 3}+PM,\]当$O,P,M$三点共线时取等号.在$\triangle APM$中有\[PM=\sqrt{PA^2-AM^2}=\dfrac{4}{\sqrt 3}.\]所以所求的最大值为\[\left(\dfrac{5}{\sqrt 3}+\dfrac{4}{\sqrt 3}\right)^2-3=24.\]

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