每日一题[908]数列的新定义

设$m,n\ (3\leqslant m\leqslant n)$是正整数,数列$A_m:a_1,a_2,\cdots,a_m$,其中$a_i\ (1\leqslant i\leqslant m)$是集合$\{1,2,3,\cdots,n\}$中互不相同的元素.若数列$A_m$满足:只要存在$i,j\ (1\leqslant i<j\leqslant m)$使$a_i+a_j \leqslant n$,总存在$k\ (1\leqslant k\leqslant m)$有$a_i+a_j=a_k$,则称数列$A_m$是“好数列”.
(1) 当$m=6$,$n=100$时,
  (i) 若数列$A_6:11,78,x,y,97,90$是一个“好数列”,试写出$x,y$的值,并判断数列:$11,78,90,x,97,y$是否是一个“好数列”?
  (ii) 若数列$A_6:11,78,a,b,c,d$是“好数列”,且$a<b<c<d$,求$a,b,c,d$共有多少种不同的取值?
(2) 若数列$A_m$是“好数列”,且$m$是偶数,证明:$\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_m}{m}\geqslant \dfrac{n+1}{2}$.


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分析与解 (1)(i) $x=89,y=100$或$x=100,y=89$.数列:$11,78,90,x,97,y$也是一个“好数列”.

(ii) 首先,数列中必有$89,100$这两项.

情形1 若剩下两项从$90,91,\cdots,99$中任取,都符合题意,有$\mathrm{C}_{10}^{2}=45$种;
情形2 若剩下两项从$79,80,\cdots,88$中任取一个,则另一项必对应$90,91,\cdots,99$中的一个,有$10$种;
情形3 若取$68 \leqslant a\leqslant 77$,则$79 \leqslant 11+a\leqslant 88$,$90 \leqslant 22+a\leqslant 99$,“好数列”必超过$6$项,不符合题意;
情形4 若取$a=67$,则$11+a=78\in A_6$,另一项可从$90,91,\cdots,99$中任取一个,有$10$种;
情形5 若取$56<a<67$,则$67<11+a<78$,$78<22+a<89$,“好数列”必超过$6$项,不符合题意;
情形6 若取$a=56$,则$b=67$,符合题意,有$1$种;
情形7 若取$a<56$,则易知“好数列”必超过$6$项,不符合题意.
综上,$a,b,c,d$共有$66$种不同的取值.

(2) 若数列$A_m$是“好数列”,且$m$是偶数,不妨假设$a_1<a_2<\cdots<a_m$.下面证明\[a_i+a_{m+1-i}\geqslant n+1\]对任意满足$1\leqslant i\leqslant \dfrac{m}{2}$的正整数$i$恒成立.
用反证法.若不然,假设存在正整数$j$,$1\leqslant j\leqslant \dfrac{m}{2}$,使得$a_j+a_{m+1-j}\leqslant n$,则\[a_{m+1-j}<a_1+a_{m+1-j}<a_2+a_{m+1-j}<\cdots<a_j+a_{m+1-j}\leqslant n,\]根据“好数列”的定义,可知存在正整数$1\leqslant k_1,k_2,\cdots,k_j\leqslant m$,使得\[a_i+a_{m+1-j}=a_{k_i}>a_{m+1-j},\ (i=1,2,\cdots,j).\]另一方面,数列$A_m$中,大于$a_{m+1-j}$的只有$j-1$项,矛盾.
因此命题得证,故$\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_m}{m}\geqslant \dfrac{n+1}{2}$.

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