每日一题[909]逐步减少参数

已知$a,b,c,d\geqslant -1$,$a+b+c+d=0$,则$ab+bc+cd$的最大值是_____.


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正确答案是$\dfrac 54$.

分析与解 若$b\leqslant c$.则有\[\begin{split}
ab+bc+cd&=ab+bc-c(a+b+c)\\&=a(b-c)-c^2\\&\leqslant -(b-c)-c^2\\&=-\left(c-\dfrac 12\right)^2-b+\dfrac 14\\&\leqslant \dfrac 54,\end{split}\]等号当$(a,b,c,d)=\left(-1,-1,\dfrac 12,\dfrac 32\right)$取得.因此所求的最大值为$\dfrac 54$.

若$c\leqslant b$,那么我们将$a=-b-c-d$代入,与上面的步骤类似可以得到最大值为$\dfrac 54$.

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