Math173

设 $a,b$ 是正实数，且 $ab=1$，求证：$\left(a+2b+\dfrac2{a+1}\right)\left(b+2a+\dfrac2{b+1}\right)\geqslant 16$．

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若 $a,b,c$ 均为正实数，且记 $m=\mathrm{min}\left\{\dfrac1a,\dfrac1{b^2},\dfrac1{c^3},a+b^2+c^3\right\}$，则 $m$ 的最大值为_______．

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设实数 $x,y>0$ 且满足 $x+y=k$，则使得不等式 $\left(x+\dfrac1x\right)\left(y+\dfrac1y\right)\geqslant\left(\dfrac k2+\dfrac2k\right)^2$ 恒成立的 $k$ 的最大值为_______．

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已知数列 $\{a_n\}$ 中 $a_1=\dfrac 23$，$a_2=\dfrac89$．当 $n\geqslant 2$ 且 $n\in\mathbb N^\ast$ 时，有 $3a_{n+1}=4a_n-a_{n-1}$．

1、证明：$\{a_{n+1}-a_{n}\}$ 为等比数列；

2、求数列 $\{a_n\}$ 的通项；

3、若对任意 $n\in \mathbb N^\ast$ 有 $\lambda a_1a_2\dots a_n\geqslant 1$ 均成立，其中 $\lambda\in\mathbb N^\ast$，求 $\lambda$ 的最小值．

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已知函数 $f(x)=\begin{cases} x(x-t)^2, &x\leqslant t,\\ \dfrac x4, &x>t ,\end{cases}$ 其中 $t>0$，若函数 $g(x)=f\left(f(x)-1\right)$ 有 $6$ 个零点，则实数 $t$ 的取值范围是_______．

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已知 $a+b+c=1,a,b,c\in(0,1)$，求证：$a\ln a+b\ln b+c\ln c\geqslant(a-2)\ln2$．

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已知 $\alpha,\beta,\gamma\in [0,2\pi)$ 且两两不相等，则关于 $x,y$ 的方程组\[|x\cos\alpha+y\sin\alpha+1|=|x\cos\beta+y\sin\beta+1|=|x\cos\gamma+y\sin\gamma+1|\]的解的组数可能为（       ）

A．$0$

B．$1$

C．$2$

D．$4$

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已知函数 $f(x)=\dfrac{{\rm e}^{2x-2}}{x}$（$x\ne 0$），记 $f_n(x)=f_{n-1}'(x)$（$n\in \mathbb N^{\ast}$），$f_0(x)=f(x)$．

（1）求 $f_2(1)+f_3(1)$ 的值；

（2）求证：$nf_{n-1}(1)+f_n(1)=2^n$．

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已知 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb R$ 上的函数，则（        ）

A．若 $f(f(x))>x$，则 $f(f(x))>f(x)$

B．若 $f(f(x))>f(x)$，则 $f(x)>x$

C．若 $f(f(x))>f(x)$，则 $f(f(f(x)))>f(x)$

D．若 $f(f(f(x)))>f(x)$，则 $f(f(x))>f(x)$

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