每日一题[1175]双重最值

若 $a,b,c$ 均为正实数,且记 $m=\mathrm{min}\left\{\dfrac1a,\dfrac1{b^2},\dfrac1{c^3},a+b^2+c^3\right\}$,则 $m$ 的最大值为_______.

    根据题意,有\[\begin{split} m&\leqslant \dfrac 1a,\\ m&\leqslant \dfrac{1}{b^2},\\ m&\leqslant \dfrac{1}{c^3},\\ m&\leqslant a+b^2+c^3,\end{split}\]于是\[m\leqslant a+b^2+c^3\leqslant\dfrac 1m+\dfrac 1m+\dfrac 1m,\]解得 $m\leqslant \sqrt 3$,等号当 $a=b^2+c^3=\dfrac{1}{\sqrt 3}$ 时取得.因此所求 $m$ 的最大值为 $\sqrt 3$.


练习    已知 $x,y$ 是正实数,且 $m=\mathrm{min}\left\{x,\dfrac1y,\dfrac1x+y\right\}$,则 $m$ 的最大值为_______.

    根据题意有$$\begin{cases} x\geqslant m,\\ \dfrac1y\geqslant m,\\\dfrac1x+y\geqslant m. \end{cases}$$所以$$\begin{cases} \dfrac1m\geqslant\dfrac1x,\\\dfrac1m\geqslant y.\end{cases}$$于是有$$\dfrac2m\geqslant\dfrac1x+y\geqslant m,$$解得 $m\leqslant\sqrt2$,等号当 $(x,y)=\left(\dfrac{\sqrt2}2,\sqrt2\right)$ 时取得,因此 $m$ 的最大值是 $\sqrt2$.

此条目发表在每日一题分类目录,贴了标签。将固定链接加入收藏夹。

发表评论