每日一题[1174]均值代换

设实数 $x,y>0$ 且满足 $x+y=k$,则使得不等式 $\left(x+\dfrac1x\right)\left(y+\dfrac1y\right)\geqslant\left(\dfrac k2+\dfrac2k\right)^2$ 恒成立的 $k$ 的最大值为_______

   记 $x=\dfrac k2+t$,$y=\dfrac k2-t$,其中 $t\in\left(-\dfrac k2,\dfrac k2\right)$,则题中不等式即\[\left(\dfrac k2+t+\dfrac{1}{\dfrac k2+t}\right)\left(\dfrac k2-t+\dfrac{1}{\dfrac k2-t}\right)\geqslant \left(\dfrac k2+\dfrac 2k\right)^2,\]也即\[\dfrac{t^2}{k^2\left(k^2-4t^2\right)}\cdot \left(-k^4+4k^2t^2+16k^2+16\right)\geqslant 0,\]也即\[t^2\geqslant \dfrac{k^4-16k^2-16}{4k^2},\]根据题意,有\[k^4-16k^2-16\leqslant 0,\]于是\[k^2\leqslant 4\left(2+\sqrt 5\right),\]因此所求 $k$ 的最大值为 $2\sqrt{2+\sqrt 5}$.

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