已知函数 $f(x)=\left(1-x^2\right)\left(x^2+bx+c\right)$，$x\in[-1,1]$，记 $|f(x)|$ 的最大值为 $M(b,c)$，当 $b,c$ 变化时，求 $M(b,c)$ 的最小值．
每日一题[1204]对数的进阶放缩
已知函数 $f(x)=(x-1){\rm e}^x-ax+1$．
1、设 $a=0$，求不等式 $f(x)\leqslant 0$ 的解集；
2、求证：对任意 $a>0$，都有 $f\left(\ln(1+a)\right)<0$；
3、设函数 $f(x)$ 的定义域为 $\left(t,\ln\left({\rm e}^t+a\right)\right)$，$f(x)$ 的值域为 $A$，试求对任意 $a>0$ 都有 $A\subseteq (-\infty,0)$ 的充要条件．
每日一题[1203]单点突破
已知 $f(x)=\left(x^3-ax\right)\ln\left(x^2+1-a\right)$，$x\in \mathbb R$．
1、若方程 $f(x)=0$ 有 $3$ 个实数解，求实数 $a$ 的取值范围；
2、在 $(1)$ 的条件下，是否存在实数 $a$，使得 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上恰有两个极值点 $x_1,x_2$ 且满足 $x_2=2x_1$，若存在，求实数 $a$ 的值；若不存在，请说明理由．
每日一题[1202]构造反例
设函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbb R$，则下列命题正确的是（ ）
A．若 $f(x)$ 是奇函数，则 $f(f(x))$ 也是奇函数
B．若 $f(x)$ 是周期函数，则 $f(f(x))$ 也是周期函数
C．若 $f(x)$ 是 $\mathbb R$ 上的单调函数，则 $f(f(x))$ 也是 $\mathbb R$ 上的单调函数
D．若 $f(x)$ 存在反函数 $f^{-1}(x)$，且方程 $f(x)=f^{-1}(x)$ 有零点，则方程 $f(x)=x$ 也有零点
每日一题[1201]灵活卡位
已知递增数列 $\{a_n\}$ 的各项均为正整数，且 $a_{a_n}=3n$，记 $b_n=a_{2\cdot 3^{n-1}}$，则数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和为（ ）
A．$2^n+n$
B．$2^{n+1}-1$
C．$\dfrac{3^{n+1}-3n}2$
D．$\dfrac{3^{n+1}-3}2$
每日一题[1200]张老师问徒
有甲、乙二人去看望高中数学张老师，期间他们做了一个游戏，张老师的生日是 $m$ 月 $n$ 日，张老师把 $m$ 告诉了甲，把 $n$ 告诉了乙，然后张老师列出来如下 $10$ 个日期供选择，2月5日，2月7日，2月9日，5月5日，5月8日，8月4日，8月7日，9月4日，9月6日，9月9日，看完日期后，甲说“我不知道，但你也一定不知道”，乙听完甲的话后，说“本来我不知道，但现在我知道了”，甲接着说“哦，现在我也知道了”，请问张老师的生日是_______．
每日一题[1199]三分天下
在棱长为 $a$ 的正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，底面 $ABCD$ 的对角线 $BD$ 在平面 $\alpha$ 内，则当正方体绕着 $BD$ 旋转的过程中，正方体在平面 $\alpha$ 内的投影面积 $S$ 的取值范围是_______．
每日一题[1198]四心的向量表达
设 $D$ 为 $\triangle ABC$ 所在平面内一点，三角形 $DBC,DCA,DAB$ 的面积分别记为 $S_1,S_2,S_3$，且 $S_1:S_2:S_3=\tan A:\tan B:\tan C$，$DA=DB=DC=2$，动点 $P,M$ 满足 $AP=1$，$M$ 为 $PC$ 的中点，则 $BM$ 的最小值为_______．
每日一题[1197]套壳伪装
点 $D$ 为 $\triangle ABC$ 边 $BC$ 上一点，$\overrightarrow{BC}=4\overrightarrow {DC}$，$E_n$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）为边 $AC$ 上的点列，且满足 $\overrightarrow{E_nA}=\dfrac14a_{n+1}\overrightarrow{E_nB}-\left(3a_n+3^{n+1}\right)\overrightarrow{E_nD}$，若 $a_1=3$，则 $a_n=$_______．
每日一题[1196]两翼包抄
已知 $a,b,c$ 是正数，且 $abc\leqslant 1$，求证：$\dfrac{a+b}{c}+\dfrac{b+c}{a}+\dfrac{c+a}{b}\geqslant 2(a+b+c)$．