求证：存在无穷多组正整数 $x,y,z$ 使得\[(x+y+z)^2+2(x+y+z)=5(xy+yz+zx).\]
每日一题[1035]双曲面
已知异面直线 $AB,CD$，求证：以 $AB$ 为轴将 $CD$ 旋转一周得到的曲面是双曲面（双曲面即双曲线绕其对称轴旋转生成的曲面，分单叶双曲面与双叶双曲面）．
每日一题[1034]爱换不换
已知 $f(x)=(2a+1)\cdot {\rm e}^x-\left(a^2-1\right)\cdot {\rm e}^{-x}$．若 $f(x)$ 是 $\mathbb R$ 上的增函数，则实数 $a$ 的取值范围是_______；若 $f(x)$ 是 $\mathbb R$ 上的减函数，则实数 $a$ 的取值范围是_______．
每日一题[1033]发掘隐藏条件
已知定义在 \(\mathbb R\) 上的函数 \(f(x)\) 是以 \(6\) 为周期的奇函数，当 \(x\in(0,3)\) 时，\[f(x)=\ln \left(2x^2-4x+a\right).\]若函数 \(f(x)\) 在区间 \([-3,3]\) 上有 \(5\) 个零点，则实数 \(a\) 的取值范围是_______．
每日一题[1032]建系解平几题
在周长为 $6$ 的三角形 $ABO$ 中，$\angle AOB=60^\circ$，点 $P$ 在边 $AB$ 上，$PH\perp OA$ 于 $H$，且 $PH=\dfrac{\sqrt 3}2$，$OP=\dfrac{\sqrt 7}2$，求 $OA$．
每日一题[1031]正切值求和
求证：$\tan ^21^\circ+\tan ^22^\circ+\tan ^23^\circ+\cdots+\tan ^288^\circ+\tan ^289^\circ=\dfrac{15931}{3}$．
每日一题[1030]四边形数列
设数列$\{a_n\},\{b_n\},\{c_n\},\{d_n\}$满足$a_1=a$，$b_1=b$，$c_1=c$，$d_1=d$，对任意正整数$n$，均有\[\begin{split}a_{n+1}&=\left|a_n-b_n\right|,\\b_{n+1}&=\left|b_n-c_n\right|,\\c_{n+1}&=\left|c_n-d_n\right|,\\d_{n+1}&=\left|d_n-a_n\right|,\end{split}\]求证：对任意正整数$a,b,c,d$，均存在正整数$m$，使得$a_m=b_m=c_m=d_m=0$．
每日一题[1029]递推公式
数列$\{a_n\}$满足$a_1=1$，$a_2=\dfrac 12$，且$n(n+1)a_{n+1}a_n+na_na_{n-1}=(n+1)^2a_{n+1}a_{n-1}$对一切不小于$2$的正整数$n$均成立，则$\{a_n\}$的通项公式为_______．
每日一题[1028]十八般武艺
已知$A,B$是椭圆$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$的长轴顶点，$P,Q$是椭圆上的两点，且满足$k_{AP}=\lambda k_{QB}$($\lambda>1$)．
(1) 求证：直线$AP$和$BQ$的交点在定直线上；
(2) 求证：直线$PQ$过定点；
(3) 求$\triangle PQB$和$\triangle PQA$面积之差的最大值．
每日一题[1027]直达核心
已知函数$f(x)=|x-m|$，$g(x)=x|x-m|+m^2-7m$．
(1)若关于$x$的方程$f(x)=|m|$在区间$[-4,+\infty)$上有两个不同的实数根，求实数$m$的取值范围；
(2)若对任意$x_1\in (-\infty,4]$，均存在$x_2\in[3,+\infty)$，使得$f(x_1)>g(x_2)$成立，求实数$m$的取值范围．