每日一题[1030]四边形数列

设数列$\{a_n\},\{b_n\},\{c_n\},\{d_n\}$满足$a_1=a$,$b_1=b$,$c_1=c$,$d_1=d$,对任意正整数$n$,均有\[\begin{split}a_{n+1}&=\left|a_n-b_n\right|,\\b_{n+1}&=\left|b_n-c_n\right|,\\c_{n+1}&=\left|c_n-d_n\right|,\\d_{n+1}&=\left|d_n-a_n\right|,\end{split}\]求证:对任意正整数$a,b,c,d$,均存在正整数$m$,使得$a_m=b_m=c_m=d_m=0$.


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分析与证明 记$(a_{n+1},b_{n+1},c_{n+1},d_{n+1})=f(a_n,b_n,c_n,d_n)$,并称$f$为一次操作.由于如果得到的四个数均不为$0$,那么经过$1$次操作后得到的四个数的最大数至少减少$1$,因为最大数有限,因此必然在经过有限次操作之后每一步得到的四个数中始终存在$0$(即四个数均非零的情况再也不会出现).

考虑剩下的三个数$a,b,c$,若它们互不相等,则经过一次操作后\[(0,a,b,c)\to (a,|a-b|,|b-c|,c),\]有非零的数出现,矛盾,所以$a,b,c,0$中必然会出现相等的数.

情形一 得到$(0,a,a,b)$,接下来得到$(a,0,|a-b|,b)$,要保证操作后继续出现零,此时应有$|a-b|=b$或$a=b$.先考虑$|a-b|=b$,此时有$a=0$或$a=2b$,且操作如下\[(a,0,b,b)\to (a,b,0,b)\to \left(b,b,b,b\right),\]所以$b=0=a$;若$a=b$,则有\[(0,a,a,a)\to(a,0,0,a)\to(a,0,a,0)\to(a,a,a,a),\]所以$a=0$;

情形二 得到$(0,a,b,a)$,接下来得到$(a,|a-b|,|a-b|,a)$中有零,所以$a=0$或$a=b$,与情形一类似;

情形三 得到$(0,b,a,a)$,与情形一类似;

情形四 $a,b,c$中有零,操作一次必对应上面三种情形之一.

综上所述,原命题得证.

 这是尬题Top5中一个问题的拓展.

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