Math173

求证：$2{\rm e}^x>x^3+3x$．

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已知双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a,b>0$）的左右焦点分别为 $F_1,F_2$，过点 $F_2$ 的直线 $l:12x-5y-24=0$ 交双曲线的右支于 $A,B$ 两点，若 $\angle AF_1B$ 的角平分线方程为 $x-4y+2=0$，则三角形 $AF_1B$ 的内切圆的标准方程为（       ）

A．$\left(x-\dfrac 12\right)^2+\left(y-\dfrac 58\right)^2=\left(\dfrac {13}8\right)^2$

B．$\left(x-1\right)^2+\left(y-\dfrac 34\right)^2=\left(\dfrac {5}4\right)^2$

C．$\left(x-1\right)^2+\left(y-\dfrac 34\right)^2=\left(\dfrac {63}{52}\right)^2$

D．$\left(x-\dfrac 12\right)^2+\left(y-\dfrac 58\right)^2=\left(\dfrac {5}4\right)^2$

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已知 $a,b,c>0$，且 $a+b+c=1$，则 $a+\sqrt b+\sqrt[3]c$ 的最大值是_______．

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已知 $\triangle ABC$ 的面积为 $2$，内角 $A,B,C$ 所对的边长分别为 $a,b,c$，则 $a^2+2b^2+3c^2$ 的最小值是_______．

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已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$ 且 $a_{n+1}=a_n+\dfrac{a_n^2}{n(n+1)}$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）．

1、求证：对任意正整数 $n$，有 $a_n<5$；

2、求证：存在正整数 $m$，使得 $a_m>4$．

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设正整数 $d$ 不等于 $2,5,13$，求证在集合 $\{2,5,13,d\}$ 中可以找到两个不同的元素 $a,b$，使得 $ab-1$ 不是完全平方数．

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求 $2018!$ 的最后一个非零数字．

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已知函数 $f(x)=|x\ln x|+ax$，$a\in\mathbb R$．

1、若 $f'\left({\rm e}^{-\frac 12}\right)=\dfrac 12f(1)$，求 $a$ 的值；

2、定义在 $\left({\rm e}^{-1},+\infty\right)$ 上的函数 $g(x)=f(x)-ax-m$ 有两个不同的零点 $x_1,x_2$，求实数 $m$ 的取值范围，并证明 $x_1+x_2+m<2{\rm e}^{-\frac 12}+1$．

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已知 $n\in\mathbb N^{\ast}$，则 ${\rm C}_ {4n+1}^1+{\rm C}_ {4n+1}^5+{\rm C}_ {4n+1}^9+\cdots+{\rm C}_ {4n+1}^{4n+1}=$ _______．

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已知函数 $f(x)=x\ln x-ax^2+a$（$a>0$）．

1、当 $x>1$ 时，$f(x)<0$，求实数 $a$ 的取值范围；

2、已知 $n\in\mathbb N$ 且 $n\geqslant 2$，证明：$\dfrac{\ln 2}{3\cdot 5}+\dfrac{\ln3}{5\cdot 7}+\cdots+\dfrac{\ln n}{(2n-1)\cdot (2n+1)}<\dfrac 14$．

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