每日一题[1246]微创手术

求证:$2{\rm e}^x>x^3+3x$.

解析    设函数\[f(x)=\left(x^3+3x\right){\rm e}^{-x},\]则其导函数\[f'(x)=-{\rm e}^{-x}\cdot \left(x^3-3x^2+3x-3\right),\]可以估计出极大值点在 $x=\dfrac 94$ 附近,因此令\[g(x)=\left(x^3+mx\right){\rm e}^{-x},\]则\[g'(x)=-{\rm e}^{-x}\cdot \left(x^3-3x^2+mx-m\right),\]令 $m=\dfrac{243}{80}$,则有\[g'\left(\dfrac 94\right)=0,\]于是\[f(x)<g(x)\leqslant g\left(\dfrac 94\right)=\dfrac{729}{40}\cdot {\rm e}^{-\frac 94}<2.\]

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