每日一题[1245]寻找切点

已知双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a,b>0$)的左右焦点分别为 $F_1,F_2$,过点 $F_2$ 的直线 $l:12x-5y-24=0$ 交双曲线的右支于 $A,B$ 两点,若 $\angle AF_1B$ 的角平分线方程为 $x-4y+2=0$,则三角形 $AF_1B$ 的内切圆的标准方程为(       )

A.$\left(x-\dfrac 12\right)^2+\left(y-\dfrac 58\right)^2=\left(\dfrac {13}8\right)^2$

B.$\left(x-1\right)^2+\left(y-\dfrac 34\right)^2=\left(\dfrac {5}4\right)^2$

C.$\left(x-1\right)^2+\left(y-\dfrac 34\right)^2=\left(\dfrac {63}{52}\right)^2$

D.$\left(x-\dfrac 12\right)^2+\left(y-\dfrac 58\right)^2=\left(\dfrac {5}4\right)^2$

答案    A.

解析    根据题意,有 $F_2(2,0)$.设三角形 $AF_1B$ 的内切圆圆心为 $I$,则由于\[AF_2-BF_2=AF1-BF_1,\]于是 $F_2$ 为圆 $I$ 与直线 $AB$ 的切点,进而\[\begin{split} IF_1&:x-4y+2=0,\\ IF_2&:5x+12y-10=0,\end{split}\]联立解得 $I\left(\dfrac 12,\dfrac 58\right)$,进而内切圆半径\[r=\dfrac{\left|12\cdot \dfrac 12-5\cdot \dfrac 58-24\right|}{\sqrt{12^2+(-5)^2}}=\dfrac{13}8,\]因此所求内切圆的标准方程为\[\left(x-\dfrac 12\right)^2+\left(y-\dfrac 58\right)^2=\left(\dfrac {13}8\right)^2.\]

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