Math173

已知函数 $f(x)=\arcsin(\sin x)$，则函数 $g(x)=x\cdot |f(x)|$（$x\in [0,10\pi]$）与 $x$ 轴围成的图形的面积是（       ）

A．$\dfrac{665\pi^3}4$

B．$\dfrac{665\pi^3}2$

C．$\dfrac{25\pi^3}2$

D．$25\pi^3$

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已知函数 $f(x)=a\ln x-\dfrac{2a^2}{x}$（$a>0$），若方程 $f(f(x))=x$ 恰有两个实数解，则实数 $a$ 的可能取值是（       ）

A．$3$

B．$5$

C．$9$

D．$11$

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在 $\triangle ABC$ 中，内角 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$，$A=\dfrac{\pi}3$，已知 $D$ 是 $BC$ 边上一点，且 $CD=2DB$，若 $AD=\dfrac{\sqrt{21}}3b$，则 $\dfrac{\sin B}{\sin C}=$ _______．

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已知函数 $f(x)={\rm e}^x$，对任意的实数 $x_1,x_2$（$x_1\ne x_2$），均有 $\dfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}<|k|\cdot (f(x_1)+f(x_2))$ 成立，则实数 $ k$ 的取值范围是_______．

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如图，在平面四边形 $ABCD$ 中，$AB=4$，$AD=2$，$\angle DAB=60^\circ$，$AC=3BC$，则边 $CD$ 长的最小值为_______．

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已知 $n$ 是正整数，$x\in\mathbb R$，求证：$\displaystyle\sum_{i=1}^n|ix-1|\geqslant\sqrt{2n^2+2n}-n-1$．

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如果自然数 $a$ 的各位数字之和为 $7$，那么称 $a$ 为吉祥数，将所有吉祥数从小大到大排成一列 $a_1,a_2,a_3,\cdots$，若 $a_n=2005$，则 $a_{5n}=$ _______．

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求证：$x^2{\rm e}^x-\ln x-1>0$．

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已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{3y^2}{a^2}=1$（$a>0$），点 $P,Q,R$ 在椭圆 $C$ 上，点 $R$ 到直线 $OP,OR$ 的距离均等于 $\dfrac 12a$，直线 $OP,OQ$ 的斜率分别为 $k_1,k_2$．

1、求 $k_1\cdot k_2$ 的值；

2、求证：$|OP|\cdot |OQ|\leqslant \dfrac 23a^2$．

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在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知点 $A(-1,0)$，$B,C$ 是单位圆 $O$ 上的两个动点．若直线 $BC$ 的倾斜角为 $30^\circ$，则 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$ 的取值范围是_______．

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