每日一题[1247]极化恒等式

在平面直角坐标系 $xOy$ 中,已知点 $A(-1,0)$,$B,C$ 是单位圆 $O$ 上的两个动点.若直线 $BC$ 的倾斜角为 $30^\circ$,则 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$ 的取值范围是_______.

答案    $\left[-\dfrac 18,3\right)$.

解析    如图,设 $BC$ 的中点为 $M$,则 $\overline{OM}$ 的取值范围是 $(-1,1)$.

由极化恒等式可得\[\begin{split}\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}&=AM^2-BM^2\\ &=(OA^2+OM^2+OA\cdot \overline{OM})-(OB^2-OM^2)\\ &=2OM^2+\overline{OM},\end{split}\]因此所求的取值范围是 $\left[-\dfrac 18,3\right)$.

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