每日一题[1252]阿波罗尼斯圆

如图,在平面四边形 $ABCD$ 中,$AB=4$,$AD=2$,$\angle DAB=60^\circ$,$AC=3BC$,则边 $CD$ 长的最小值为_______.

答案    $\dfrac{\sqrt{73}-3}2$.

解析    根据阿波罗尼斯圆的定义,点 $C$ 的轨迹是以 $O$($O$ 为在直线 $AB$ 的延长线上)为圆心的圆,如图.

由\[\dfrac{OA}{OC}=\dfrac{OC}{OB}=\dfrac{AC}{BC}=3,\]解得\[OA=\dfrac 92,OB=\dfrac 12,OC=\dfrac 32.\]在 $\triangle DAO$ 中应用余弦定理可得\[OD=\sqrt{AD^2+AO^2-2\cdot AD\cdot AO\cdot \cos\angle DAB}=\dfrac{\sqrt{73}}2,\]于是所求 $CD$ 的最小值为 $\dfrac{\sqrt{73}-3}2$.

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每日一题[1252]阿波罗尼斯圆》有 2 条评论

  1. LycheeM LycheeM说:

    计算有误,$OD=\dfrac{\sqrt{61}}2$,$CD$的最小值为$\dfrac{\sqrt{61}-3}2$。

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