每日一题[1253]进阶放缩

已知函数 $f(x)={\rm e}^x$,对任意的实数 $x_1,x_2$($x_1\ne x_2$),均有 $\dfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}<|k|\cdot (f(x_1)+f(x_2))$ 成立,则实数 $ k$ 的取值范围是_______.

答案    $\left(-\infty,-\dfrac 12\right]\cup \left[\dfrac 12,+\infty\right)$.

解析    根据题意,有\[\forall x_1>x_2,|k|\cdot (x_1-x_2)>\dfrac{{\rm e}^{x_1}-{\rm e}^{x_2}}{{\rm e}^{x_1}+{\rm e}^{x_2}},\]也即\[\forall x_2>x_2,|k|\cdot (\ln x_1-\ln x_2)>\dfrac{x_1-x_2}{x_2+x_2},\]也即\[\forall x>1,|k|\cdot \ln x-\dfrac{x-1}{x+1}>0,\]记右侧函数为 $g(x)$,则其导函数\[g'(x)=\dfrac{|k|\cdot x^2+(2|k|-2)x+|k|}{x(1+x)^2},\]分析端点 $x=1$ 可得\[|k|\geqslant \dfrac 12,\]于是实数 $k$ 的取值范围是 $\left(-\infty,-\dfrac 12\right]\cup \left[\dfrac 12,+\infty\right)$.

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