每日一题[1255]二阶不动点

已知函数 $f(x)=a\ln x-\dfrac{2a^2}{x}$($a>0$),若方程 $f(f(x))=x$ 恰有两个实数解,则实数 $a$ 的可能取值是(       )

A.$3$

B.$5$

C.$9$

D.$11$

答案    D.

解析    函数 $f(x)$ 在定义域上单调递增,于是方程 $f(f(x))=x$ 即 $f(x)=x$,也即\[a\ln x-\dfrac{2a^2}{x}-x=0,\]记左边为函数 $g(x)$,则其导函数\[g'(x)=\dfrac{x+a}{x^2}\cdot (2a-x),\]于是函数 $g(x)$ 在 $(0,2a)$ 上单调递增,在 $(2a,+\infty)$ 上单调递减,在 $ x=2a$ 处取得极大值,亦为最大值\[g(2a)=a(\ln(2a)-3),\]根据题意,有 $g(2a)>0$,于是\[a>\dfrac 12{\rm e}^3.\]此时\[\lim_{x\to 0+}g(x)=\lim_{x\to +\infty}g(x)=-\infty,\]于是实数 $a$ 的取值范围是 $\left(\dfrac 12{\rm e}^3,+\infty\right)$.由于 ${\rm e}^3=20.08\cdots$,于是符合题意的选项有 D.

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