每日一题[1251]绝对值函数

已知 $n$ 是正整数,$x\in\mathbb R$,求证:$\displaystyle\sum_{i=1}^n|ix-1|\geqslant\sqrt{2n^2+2n}-n-1$.

解析    记不等式左侧函数为 $f(x)$,根据题意,函数 $f(x)$ 的最小值\[\begin{split} m&=\min_{1\leqslant k\leqslant n,k\in\mathbb N} f\left(\dfrac 1k\right)\\ &=\min_{1\leqslant k\leqslant n,k\in\mathbb N}\dfrac{(k-1)+\cdots+1+0+1+\cdots+(n-k)}{k}\\ &=\min_{1\leqslant k\leqslant n,k\in\mathbb N} \left\{k+\dfrac{n^2+n}{2k}-(n+1)\right\}\\ &\geqslant \sqrt {2n^2+2n}-(n+1),\end{split}\]等号当\[k^2=\dfrac {n^2+n}2\]时取得.

备注    事实上,等号是可以取得的.如\[(n,k)=(1,1),(8,6),\cdots.\]

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