每日一题[1250]扩充概念

如果自然数 $a$ 的各位数字之和为 $7$,那么称 $a$ 为吉祥数,将所有吉祥数从小大到大排成一列 $a_1,a_2,a_3,\cdots$,若 $a_n=2005$,则 $a_{5n}=$ _______.

答案    $52000$.

解析    先计算 $n$ 的值.以 $0$ 开头的 $4$ 位吉祥数数(这里扩充了 $4$ 位数,即将不足 $4$ 位的数前面补 $0$ 凑够 $4$ 位)有 ${\rm C}_9^2=36$ 个,以 $1$ 开头的 $4$ 位吉祥数数有 ${\rm C}_8^2=28$ 个,而 $2005$ 是以 $2$ 开头的第一个 $4$ 位吉祥数.因此\[n=36+28+1=65,\]所需要求的数为 $a_{325}$. 考虑以 $0$ 开头的 $6$ 位吉祥数有 ${\rm C}_{11}^4=330$ 个,因此\[a_{330}=070000,\]进而\[\begin{split} a_{329}&=061000,\\ a_{328}&=060100,\\ a_{327}&=060010,\\ a_{326}&=060001,\\ a_{325}&=052000,\end{split}\]也即所求数位 $52000$.

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