每日一题[1538]配方

按要求作答:

1、求证:对于任意实数 $x,y,z$ 都有 $x^2+2y^2+3z^2\geqslant\sqrt{3}\left(xy+yz+zx\right)$.

2、是否存在实数 $k>\sqrt{3}$,使得对于任意实数 $x,y,z$ 下式恒成立?\[x^2+2y^2+3z^2\geqslant k\left(xy+yz+zx\right)\]试证明你的结论.

解析

1、利用拉格朗日配方法可得\[\begin{split} m&=\left(x^2+2y^2+3z^2\right)-\sqrt 3(xy+yz+zx)\\ &=x^2-\sqrt 3(y+z)x+2y^2-\sqrt 3yz+3z^2\\ &=\left(x-\dfrac{\sqrt 3}2y-\dfrac{\sqrt 3}2z\right)^2+\dfrac 54y^2-\left(\dfrac 32+\sqrt 3\right)yz+\dfrac94z^2\\ &=\left(x-\dfrac{\sqrt 3}2y-\dfrac{\sqrt 3}2z\right)^2+\left(\dfrac32z-\left(\dfrac 12+\dfrac{\sqrt 3}3\right)y\right)^2+\dfrac{2-\sqrt 3}3y^2\\ &>0,\end{split}\]因此不等式得证.

2、利用拉格朗日配方法可得\[\begin{split} m&=\left(x^2+2y^2+3z^2\right)-k(xy+yz+zx)\\ &=x^2-k(y+z)x+2y^2-kyz+3z^2\\ &=\left(x-\dfrac k2y-\dfrac k2\right)^2+\left(2-\dfrac {k^2}4\right)y^2-\left(\dfrac{k^2}2+k\right)yz+\left(3-\dfrac{k^2}4\right)z^2,\end{split}\]考虑后半部分(关于 $y,z$ 的二次多项式)对应的判别式\[\Delta=\left(\dfrac{k^2}2+k\right)^2-4\left(2-\dfrac{k^2}4\right)\left(3-\dfrac{k^2}4\right)=k^3+6k^2-24,\]记右侧关于 $k$ 的函数为 $f(k)$,则\[f\left(\sqrt 3\right)=3\sqrt 3-6<0,\]且 $f(k)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增,因此必然存在 $k_0>\sqrt 3$,使得 $f(k_0)=0$.此时取 $k\in\left(\sqrt 3,k_0\right)$ 即为符合题意的 $k$.

备注       事实上,$k_0$ 为最好的结果,且\[k_0=4\cos\dfrac{\pi}9-2.\]

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