每日一题[1540]成双入对

已知关于 $x$ 的实系数方程 $x^2-2x+2=0$ 和 $x^2+2mx+1=0$ 的四个不同的根,在复平面上对应的点共圆,则 $m$ 的取值范围是_______.

答案       $\left\{-\dfrac 32\right\}\cup(-1,1)$.

解析       方程 $x^2-2x+2=0$ 的复根为 $1\pm {\rm i}$,记 $A(1,1)$,$B(1,-1)$,设方程 $x^2+2mx+1=0$ 的两根对应的点分别为 $C,D$,则由于二次方程的虚根共轭出现,因此 $C,D$ 或者关于 $x$ 轴对称,或者为 $x$ 轴上的两点.

情形一       $C,D$ 关于 $x$ 轴对称,即\[\Delta=4m^2-4<0\implies -1<m<1,\]此时 $A,B,C,D$ 为等腰梯形或矩形的四个顶点,符合题意.

情形二       $C,D$ 为 $x$ 轴上的两点.此时设 $A,B,C,D$ 共圆\[P:(x-a)^2+y^2=(1-a)^2+1,\]令 $y=0$,可得\[x^2-2ax+2a-2=0,\]对比系数可得\[(a,m)=\left(\dfrac 32,-\dfrac 32\right).\] 综上所述,$m$ 的取值范围是 $\left\{-\dfrac 32\right\}\cup(-1,1)$.

此条目发表在每日一题分类目录,贴了标签。将固定链接加入收藏夹。

发表评论