每日一题[1536]垂心的向量表达

设 $H$ 是 $\triangle ABC$ 的垂心,且 $3\overrightarrow{HA}+4\overrightarrow{HB}+5\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{0}$,则 $\cos\angle AHB =$ _______.

答案       $-\dfrac{\sqrt{6}}{6}$.

解析       根据三角形垂心的向量表达,有\[\tan A:\tan B:\tan C=3:4:5,\]结合\[\tan A+\tan B+\tan C=\tan A\tan B\tan C,\]可得\[(\tan A,\tan B,\tan C)=\left(\dfrac{3}{\sqrt 5},\dfrac{4}{\sqrt 5},\sqrt 5\right),\]于是\[\cos \angle AHB=-\cos C=-\dfrac{\sqrt 6}6.\]

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