每日一题[1541]分类汇编

已知圆 $x^2+y^2=8$ 围成的封闭区域内(含边界)的整点(坐标均为整数的点)数是椭圆 $\dfrac {x^2} {a^2}+\dfrac {y^2} 4=1$ 围成的封闭区域内(含边界)整点数的 $\dfrac 1 5$,则正实数 $a$ 的取值范围是______.

答案       $[22,23)$.

解析       圆 $x^2+y^2=8$ 围成的区域中的整点个数为\[1+4\sum_{k=0}^2\left[\sqrt{8-k^2}\right]=25,\]进而椭圆 $\dfrac {x^2} {a^2}+\dfrac {y^2} 4=1$ 围成的区域中的整点个数为\[1+2[a]+4+4\left[\dfrac{\sqrt 3a}2\right]=125,\]于是\[[a]+2\left[\dfrac{\sqrt 3a}2\right]=60,\]注意到左侧关于 $a$ 不减,于是列表计算\[\begin{array}{c|cccc}\hline a&20&21&22&23\\ \hline [a]+2\left[\dfrac{\sqrt 3a}2\right]&54&57&60&61\\ \hline \end{array}\]因此所求正实数 $a$ 的取值范围是 $[22,23)$.

备注       若所解方程变为\[[a]+2\left[\dfrac{\sqrt 3a}2\right]=57,\]则通过列表可得 $21\leqslant a<22$,于是\[\begin{cases} 21<a<22,\\ \left[\dfrac{\sqrt 3a}2\right]=18,\end{cases}\iff 21\leqslant a<\dfrac{38}{\sqrt 3}.\]

此条目发表在每日一题分类目录,贴了标签。将固定链接加入收藏夹。

发表评论