如果自然数 $a$ 的各位数字之和为 $7$，那么称 $a$ 为吉祥数，将所有吉祥数从小大到大排成一列 $a_1,a_2,a_3,\cdots$，若 $a_n=2005$，则 $a_{5n}=$ _______．
已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{3y^2}{a^2}=1$（$a>0$），点 $P,Q,R$ 在椭圆 $C$ 上，点 $R$ 到直线 $OP,OR$ 的距离均等于 $\dfrac 12a$，直线 $OP,OQ$ 的斜率分别为 $k_1,k_2$．
1、求 $k_1\cdot k_2$ 的值；
2、求证：$|OP|\cdot |OQ|\leqslant \dfrac 23a^2$．
在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知点 $A(-1,0)$，$B,C$ 是单位圆 $O$ 上的两个动点．若直线 $BC$ 的倾斜角为 $30^\circ$，则 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$ 的取值范围是_______．
已知双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a,b>0$）的左右焦点分别为 $F_1,F_2$，过点 $F_2$ 的直线 $l:12x-5y-24=0$ 交双曲线的右支于 $A,B$ 两点，若 $\angle AF_1B$ 的角平分线方程为 $x-4y+2=0$，则三角形 $AF_1B$ 的内切圆的标准方程为（ ）
A．$\left(x-\dfrac 12\right)^2+\left(y-\dfrac 58\right)^2=\left(\dfrac {13}8\right)^2$
B．$\left(x-1\right)^2+\left(y-\dfrac 34\right)^2=\left(\dfrac {5}4\right)^2$
C．$\left(x-1\right)^2+\left(y-\dfrac 34\right)^2=\left(\dfrac {63}{52}\right)^2$
D．$\left(x-\dfrac 12\right)^2+\left(y-\dfrac 58\right)^2=\left(\dfrac {5}4\right)^2$
已知 $a,b,c>0$，且 $a+b+c=1$，则 $a+\sqrt b+\sqrt[3]c$ 的最大值是_______．
已知 $\triangle ABC$ 的面积为 $2$，内角 $A,B,C$ 所对的边长分别为 $a,b,c$，则 $a^2+2b^2+3c^2$ 的最小值是_______．
已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$ 且 $a_{n+1}=a_n+\dfrac{a_n^2}{n(n+1)}$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）．
1、求证：对任意正整数 $n$，有 $a_n<5$；
2、求证：存在正整数 $m$，使得 $a_m>4$．
设正整数 $d$ 不等于 $2,5,13$，求证在集合 $\{2,5,13,d\}$ 中可以找到两个不同的元素 $a,b$，使得 $ab-1$ 不是完全平方数．
