每日一题[1804]“分离变量”

已知关于 $x$ 的方程 $|x-k|=\dfrac{\sqrt 2}{2}k\sqrt x$ 在区间 $[k-1,k+1]$ 上有两个不相等的实根,则实数 $k$ 的取值范围是_______.

答案    $(0,1]$.

解析    若 $k\leqslant 0$,则\[|x-k|\geqslant 0\geqslant \dfrac{\sqrt 2}2k\sqrt x,\]不符合题意,因此 $k>0$.此时设 $f(x)=\left|\dfrac xk-1\right|$($k-1\leqslant x\leqslant k+1$),$g(x)=\sqrt{\dfrac x2}$,则题意为函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的图象有两个公共点,如图.

进而\[\dfrac 1k\geqslant g(k+1)\iff k^2(k+1)\leqslant 2\iff 0<k\leqslant 1,\]因此实数 $k$ 的取值范围是 $(0,1]$.

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