二次函数根的分析一例

已知二次函数 $f_1(x)=x^2-ax+b$,$f_2(x)=x^2-bx+c$,$f_3(x)=x^2-cx+a$.设 $a,b,c$ 都是正整数,求所有的可能的有序三元组 $(a,b,c)$,使得 $f_1(x)=0$,$f_2(x)=0$,$f_3(x)=0$ 均有整数根.

解法一(基于求根公式)

由 $c\geqslant 1$ 可得 $b^2\geqslant 4c\geqslant 4$,于是 $b\geqslant 2$,进而 $a^2\geqslant 4b\geqslant 8$,于是 $a\geqslant 3$,进而 $c^2\geqslant 4a\geqslant 12$,于是 $c\geqslant 4$,进而 $a,b,c\geqslant 4$.由 $a,b,c$ 的轮换性,不妨设 $c$ 最大. 根据题意,有 $\Delta_i(x)$ 均为完全平方数,且 $f_i(1)\geqslant 0$,其中 $i=1,2,3$.于是\[\begin{cases} 1-a+b\geqslant 0,\\ 1-b+c\geqslant 0,\\ 1-c+a\geqslant 0,\end{cases}\implies a-1\leqslant b\leqslant c\leqslant a+1,\]因此 $c=a$ 或 $c=a+1$.

情形一    若 $c=a$,此时 $\Delta_3=c^2-4a=a^2-4a$,而当 $a\geqslant 5$ 时,有\[(a-3)^2<a^2-4a<(a-2)^2,\]于是 $a=c=4$,进而 $b=4$,因此 $(4,4,4)$ 是符合题意的一组解.

情形二    若 $c=a+1$.此时 $\Delta_1=a^2-4b$,而 $a-1\leqslant b\leqslant a+1$.

① $b=a-1$.此时 $\Delta_1=(a-2)^2$ 为完全平方数,考虑\[\Delta_2=b^2-4c=a^2-6a-3=(a-3)^2-12,\]此时 $a\geqslant 7$.当 $a=7$ 时,得到解 $(7,6,8)$.$a=8$ 时,$\Delta_2=13$ 不是完全平方数,当 $a\geqslant 9$ 时,有\[(a^2-6a-3)-(a-4)^2=2a-19>0,\]无解.

② $b=a$.此时 $\Delta_1=a^2-4a$,与情形一类似分析,可得此时无解.

③ $b=a+1$.此时 $c=a$,$\Delta_3=a^2-4a$,与情形一类似分析,可得此时无解.

综上所述,所有解 $(a,b,c)$ 只有 $(4,4,4)$ 以及 $(7,6,8)$ 的轮换.

解法二(基于系数参数) 

$f_i(x)=0$ 有整数根,则均为正整数根.

情形一     所有整数根均大于 $1$,则两根之积不小于两根之和,进而\[\begin{cases} b\geqslant a,\\ c\geqslant b,\\ a\geqslant c,\end{cases}\implies a=b=c,\]此时\[f_1(x)=0\iff x^2-ax+a=0\iff a=x+1+\dfrac1{x-1},\]于是 $x=2$,进而 $(a,b,c)=(4,4,4)$.

情形二    有一个整数根为 $1$.不妨设 $f_1(1)=0$,于是 $a=b+1$,进而\[\begin{cases} f_2(x)=x^2-(a-1)x+c,\\ f_3(x)=x^2-cx+a,\end{cases}\implies c\geqslant a-1\geqslant c-1,\]于是 $c=a-1$ 或 $c=a$,进而与情形一类似,均无解.

情形三    有两个整数根为 $1$.不妨设 $f_1(1)=0$ 且 $f_2(1)=0$,于是 $a=b+1$,$c=b-1$,进而\[f_3(x)=0\iff x^2-(b-1)x+b+1=0\iff b=x+2+\dfrac3{x-1},\]于是 $x=2$ 或 $x=4$,因此 $(a,b,c)=(8,7,6)$(其轮换也是解).

情形四    有三个整数根为 $1$.此时无解.

综上所述,所有解 $(a,b,c)$ 只有 $(4,4,4)$ 以及 $(7,6,8)$ 的轮换.

解法三(基于根参数)

不妨设三个方程的实根分别为 $x_1,x_2;x_3,x_4;x_5,x_6$,且 $x_1\geqslant x_2$,$x_3\geqslant x_4$,$x_5\geqslant x_6$,则 $x_i\in\mathbb N^{\ast}$($i=1,2,3,4,5,6$).根据韦达定理\[x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6=x_3x_4+x_5x_6+x_1x_2=a+b+c,\]进而\[(x_1-1)(x_2-1)+(x_3-1)(x_4-1)+(x_5-1)(x_6-1)=3,\]左侧和式中的三个数都是非负整数,考虑到轮换性,不妨设 $(x_1-1)(x_2-1)$ 是左侧和式中最大数.

情形一     $(x_1-1)(x_2-1)=3$.此时 $x_1=4$,$x_2=2$,$x_4=x_6=1$,可得 $a=6$,$b=8$,进而 $c=7$.

情形二     $(x_1-1)(x_2-1)=2$.此时 $x_1=3$,$x_2=2$,$x_4$ 或 $x_6$ 为 $1$,可得 $a=5$,$b=6$,进而 $c=5$ 或 $c=6$,均不符合题意.

情形三     $(x_1-1)(x_2-1)=1$.此时 $x_1=x_2=x_3=x_4=x_5=x_6=2$,此时 $a=b=c=4$.

综上所述,所有解 $(a,b,c)$ 只有 $(4,4,4)$ 以及 $(7,6,8)$ 的轮换.

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