已知 $2\tan(\alpha+\beta)=3\tan \alpha$，则 $A=\sin^2\beta-\sin(2\alpha+\beta)$ 的最大值为_______．
函数 $f(x)=x$，$g(x)=x^2-x+3$．若存在 $x_1,x_2,\cdots,x_n\in\left[0,\dfrac 92\right]$，使得 $f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_{n-1})+g(x_n)=g(x_1)+g(x_2)+\cdots+g(x_{n-1})+f(x_n)$，则 $n$ 的最大值为（ ）
A．$5$
B．$6$
C．$7$
D．$8$
$m$ 个女孩和 $n$（$n\geqslant 2m$）个男孩围成一圈，任意两个女孩之间至少站两个男孩，共有_______种不同的排列方法．（将旋转后重合的排法认为是同一种）
已知 $a>1$，$b>2$，则 $m=\dfrac{(a+b)^2}{\sqrt{a^2-1}+\sqrt{b^2-4}}$ 的最小值为_______．
设 $A,B$ 是有限集，定义：$d\left(A,B\right)={\mathrm{card}}\left(A\cup B\right)-{\mathrm{card}}\left(A\cap B\right)$，其中 ${\mathrm{card}}\left(A\right)$ 表示有限集 $A$ 中元素的个数．
命题 ①：对任意有限集 $A,B$，$A\neq B$ 是 $d\left(A,B\right)>0$ 的充分必要条件；
命题 ②：对任意有限集 $A,B,C$，$d\left(A,C\right)\leqslant d\left(A,B\right)+d\left(B,C\right)$．（ ）
A．命题 ① 和命题 ② 都成立
B．命题 ① 和命题 ② 都不成立
C．命题 ① 成立，命题 ② 不成立
D．命题 ① 不成立，命题 ② 成立
已知 $a,b,c>0$，且 $abc=1$，求证：$\dfrac{1}{a^2+2b^2+3}+\dfrac{1}{b^2+2c^2+3}+\dfrac{1}{c^2+2a^2+3}\leqslant \dfrac 12$．
设双曲线 $C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a,b>0$）右支上一动点 $P$，过 $P$ 向双曲线的渐近线作垂线，垂足分别为 $A$ 与 $B$，若 $A,B$ 始终在第一、四象限内，$O$ 为坐标原点，则此双曲线的离心率 $e$ 的取值范围为（ ）
A．$\left(1,\sqrt 3\right]$
B．$(1,3]$
C．$\left(1,\sqrt 2\right]$
D．$(1,2]$
