每日一题[1425]对数的估算

比较大小:${\log_3}4$_______${\log_4}6$.(用 $<$,$>$ 填空).

答案    $<$.

解析    考虑\[{\log_3}4-{\log_4}6=\dfrac{2\ln 2}{\ln 3}-\dfrac{\ln 2+\ln 3}{2\ln 2}=\dfrac 2x-\dfrac x2-\dfrac 12=\dfrac{-x^2-x+4}{2x},\]其中 $x={\log_2}3$,而\[3^2>2^3,\]于是\[x>\dfrac 32,\]因此\[-x^2-x+4<0,\]从而\[{\log_3}4<{\log_4}6.\]

备注    事实上由于\[\begin{array}{c|cccccccc}\hline n&2&3&4&5&6&7&8&9\\ \hline 2^n&4&8&16&32&64&128&256&512\\ \hline 3^n&9&27&81&243&729&2187&&\\ \hline \end{array}\]有\[3^2>2^3,3^5<2^8,\]因此\[\dfrac 32<{\log_2}3<\dfrac 85.\]

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