每日一题[1422]对称差集

设 $A,B$ 是有限集,定义:$d\left(A,B\right)={\mathrm{card}}\left(A\cup B\right)-{\mathrm{card}}\left(A\cap B\right)$,其中 ${\mathrm{card}}\left(A\right)$ 表示有限集 $A$ 中元素的个数.

命题 ①:对任意有限集 $A,B$,$A\neq B$ 是 $d\left(A,B\right)>0$ 的充分必要条件;

命题 ②:对任意有限集 $A,B,C$,$d\left(A,C\right)\leqslant d\left(A,B\right)+d\left(B,C\right)$.(       )

A.命题 ① 和命题 ② 都成立

B.命题 ① 和命题 ② 都不成立

C.命题 ① 成立,命题 ② 不成立

D.命题 ① 不成立,命题 ② 成立

答案    A.

解析    对于有限集 $A,B$,设 $a,x,b$ 分别为 $\complement_AB,A\cap B,\complement_BA$ 的元素个数,则\[d(A,B)=a+b,\]于是\[d(A,B)=0\iff a=b=0\iff A=B,\]因此命题 ① 成立. 对于有限集 $A,B,C$,设只在 $A,B,C$ 中的元素个数分别为 $a,b,c$,只不在 $A,B,C$ 中的元素个数分别为 $x,y,z$,同时在 $A,B,C$ 中的元素个数为 $t$,则\[\begin{split} d(A,C)&=a+c+z+x,\\ d(A,B)&=a+b+x+y,\\ d(B,C)&=b+c+y+z,\end{split}\]于是\[d(A,C)\leqslant d(A,B)+d(B,C),\]等号当且仅当 $b=y=0$ 时取得,因此命题 ② 成立.

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