每日一题[1427]硬算

在 $\triangle ABC$ 中,$A=108^\circ$,$\angle ABC$ 的平分线 $BD$ 交 $AC$ 于点 $D$,$BC=AC+CD$,求证:$AB=AC$.

证明    记 $\angle ABD=\angle DBC=x$,则根据正弦定理,有\[\dfrac{AC}{BC}+\dfrac{CD}{BC}=\dfrac{\sin 2x}{\sin 108^\circ}+\dfrac{\sin x}{\sin(108^\circ+x)},\]记右侧函数(为了方便起见,没有沿用角度值计算)为 $f(x)$,则\[f(x)=\dfrac{\sin 2x}{\sin 72^\circ}+\dfrac{\sin x}{\sin(72^\circ-x)},\]于是函数 $f(x)$ 在 $0^\circ<x<45^\circ$ 时单调递增,而\[\begin{split} f(18^\circ)&=\dfrac{\sin 36^\circ}{\sin 72^\circ}+\dfrac{\sin 18^\circ}{\sin 54^\circ}\\ &=\dfrac{\sin 36^\circ}{2\sin 36^\circ\cos 36^\circ}+\dfrac{\sin 18^\circ}{3\sin 18^\circ-4\sin^318^\circ}\\ &=\dfrac{1}{2\cos36^\circ}+\dfrac{1}{3-4\sin^218^\circ}\\ &=\dfrac{1}{2\cos36^\circ}+\dfrac{1}{1+2\cos 36^\circ},\end{split}\]而\[\cos 36^\circ=\dfrac{\sqrt 5+1}4,\]于是 $f(18^\circ)=1$,于是 $x=18^\circ$,进而 $AB=AC$.

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