设 $a+b=1$，$b>0$，$a\neq0$，则 $\dfrac1{|a|}+\dfrac{2|a|}b$ 的最小值为_______.
已知实数 $a,b,c$ 满足 $a^2+b^2+c^2=1$，求 $M=a^2bc+ab^2c+abc^2$ 的最大值和最小值．
如图所示，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，设点 $M(x_0,y_0)$ 是椭圆 $C:\dfrac{x^2} 4+y^2=1$ 上一点，左右焦点分别是 $F_1,F_2$，从原点 $O$ 向圆 $M$：$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$（$0<r<1$）作两条切线分别与椭圆 $C$ 交于点 $P,Q$，直线 $OP,OQ$ 的斜率分别记为 $k_1,k_2$．
1、设直线 $MF_1,MF_2$ 分别与圆交于 $A,B$ 两点，当 $|AF_1|-|BF_2|=2r$ 时，求点 $A$ 的轨迹方程．
2、当 $k_1\cdot k_2$ 为定值时，求 $|OP|\cdot|OQ|$ 的最大值．
在 $\triangle ABC$ 中，已知 $AC=3$，$\sin C=k\sin A$（$k\geqslant2$），则 $\triangle ABC$ 的面积的最大值为_______．
设点 $O$ 为三角形 $ABC$ 内一点，且满足关系式：\[\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}+3\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA},\]则 $\dfrac {S_{\triangle AOB}+2S_{\triangle BOC}+3S_{\triangle COA}} {S_{\triangle ABC}}=$ _______．
已知棱长为 $\sqrt3$ 的正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 内部有一圆柱，此圆柱恰好以直线 $AC_1$ 为轴，则该圆柱体积的最大值为________．
已知 $\dfrac{\sin\theta} {\sqrt 3\cos\theta+1}>1$，则 $\tan\theta$ 的取值范围是_______．
如图，$F_1,F_2$ 是双曲线 $x^2-\dfrac{y^2}{4}=1$ 的两个焦点，一条直线与双曲线的右支相切，且分别交两条渐近线于 $A,B$．又设 $O$ 为坐标原点．
1、求证：$|OA|\cdot |OB| =| OF_1| ^2$．
2、求证：$F_1,F_2,A,B$ 四点在一个圆上．
设 $x_1,x_2,x_3$ 是方程 $x^3-17x-18=0$ 的三个根，$-4<x_1<-3$，且 $4<x_3<5$．
1、求 $x_2$ 的整数部分．
2、求 $\arctan x_1+\arctan x_2 + \arctan x_3$ 的值．
