设 $f(n)$ 为最接近 $\sqrt[4]{n}$ 的整数，则 $\displaystyle\sum_{k=1}^{2018}\dfrac{1}{f(k)}=$ _______．
甲、乙两人轮流掷一枚硬币至正面朝上或者朝下，规定谁先掷出正面朝上为赢；前一场的输者，则下一场先掷．若第一场甲先赢，则甲赢得第 $n$ 场的概率为_______．
在 $\triangle ABC$ 中，$\angle BAC=60^\circ$，$\angle BAC$ 的平分线 $AD$ 交 $BC$ 于 $D$，且有 $\overrightarrow{AD}=\dfrac 14\overrightarrow{AC}+t\overrightarrow{AB}$，若 $AB=8$，则 $AD=$ _______．
已知 $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数，函数 $f(x)=[2\sin x\cos x]+[\sin x+\cos x]$ 的值域为_______．
已知 $a$ 为实数，函数 $f(x)=x\ln x-\dfrac 12ax^2-x+a$ 在其定义域内恰有两个不同的极值点 $x_1,x_2$，且 $x_1<x_2$．若 $\lambda>0$，且 $\lambda\ln x_2-\lambda>1-\ln x_1$ 恒成立，求 $\lambda$ 的取值范围．
设 $x,y,z\geqslant0$，且至多有一个为 $0$，求\[f(x,y,z)= \sqrt{\dfrac {x^2+256yz}{y^2+z^2}} + \sqrt{\dfrac {y^2+256zx}{z^2+x^2}} +\sqrt{\dfrac {z^2+256xy}{x^2+y^2}} \]的最小值．
已知抛物线 $y=ax^2$ 过点 $P(-1,1)$，过点 $Q\left(-\dfrac 12,0\right)$ 作斜率大于 $0$ 的直线 $l$ 交抛物线于 $M,N$ 两点（点 $M$ 在 $Q,N$ 之间），过点 $M$ 作 $x$ 轴的平行线，交 $OP$ 于 $A$，交 $ON$ 于 $B$，$\triangle PMA$ 与 $\triangle OAB$ 的面积分别记为 $ S_1 , S_2 $，比较 $ S_1 $ 与 $ 3S_2 $ 的大小，说明理由．
已知直线 $l:y=kx$ 与圆 $C:x^2+(y-4)^2=4$ 相交于 $M,N$ 两点．
1、求 $k$ 的取值范围．
2、若点 $Q$ 在线段 $MN$ 上，且满足 $\dfrac{2}{|OQ|^2}=\dfrac{1}{|OM|^2}+\dfrac{1}{|ON|^2}$，求点 $Q$ 的轨迹方程．
1、已知 $P$ 是矩形 $ABCD$ 所在平面上的一点，则有 $PA^2+PC^2=PB^2+PD^2$．试证明该命题．
2、将上述命题推广到 $P$ 为空间上任一点的情形，写出这个推广后的命题并加以证明．
3、将矩形 $ABCD$ 进一步推广到长方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$，并利用第 $(2)$ 小题得到的命题建立并证明一个新命题．
