每日一题[1502]先猜后证

设 $x,y,z\geqslant0$,且至多有一个为 $0$,求\[f(x,y,z)= \sqrt{\dfrac {x^2+256yz}{y^2+z^2}} + \sqrt{\dfrac {y^2+256zx}{z^2+x^2}} +\sqrt{\dfrac {z^2+256xy}{x^2+y^2}} \]的最小值.

答案      $12$.

解析      不妨设 $x\geqslant y\geqslant z$,题中代数式为 $m$.

探索      注意到 $z=0$ 时,有\[\begin{split} m&=\dfrac xy+\dfrac yx+16\sqrt{\dfrac{xy}{x^2+y^2}}\\ &=\dfrac{x^2+y^2}{xy}+8\sqrt{\dfrac {xy}{x^2+y^2}}+8\sqrt{\dfrac{xy}{x^2+y^2}}\\ &\geqslant 3\cdot 64^{\frac 13}=12,\end{split}\]等号当 $\dfrac{x^2+y^2}{xy}=4$ 时取得,于是猜想所求最小值为 $12$.

证明      考虑\[\dfrac{x^2+256yz}{y^2+z^2}-\dfrac{x^2}{y^2}=\dfrac{z(256y^3-x^2z)}{(y^2+z^2)y^2},\]于是当 $256y^3\geqslant x^2z$ 时,有\[\begin{cases} \sqrt{\dfrac {x^2+256yz}{y^2+z^2}}\geqslant \dfrac xy,\\ \sqrt{\dfrac {y^2+256zx}{z^2+x^2}}\geqslant \dfrac yx,\\ \sqrt{\dfrac {z^2+256xy}{x^2+y^2}}\geqslant \sqrt{\dfrac{256xy}{x^2+y^2}},\end{cases}\]因此 $m\geqslant 12$. 当 $256y^3<x^2z$ 时,有\[x^2>\dfrac{256y^3}{z}=256y^2\cdot \dfrac yz\geqslant 256y^2,\]于是\[m\geqslant \sqrt{\dfrac {x^2+256yz}{y^2+z^2}}>\sqrt{\dfrac{256(y^2+yz)}{y^2+z^2}}>16.\]综上所述,所求最小值为 $12$,当 $\dfrac xy=2\pm \sqrt 3$ 且 $z=0$ 时可以取得.

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