每日一题[1503]大小擒拿

已知 $x>0$,求证:${\rm e}^x>x^2+x\ln x+1$.

解析      尝试证明一个更强的命题:\[\forall x>0,{\rm e}^x>2x^2-x+1.\]令\[f(x)={\rm e}^x-2x^2+x-1,\]则其导函数\[f'(x)={\rm e}^x-4x+1,\]其二阶导函数\[f''(x)={\rm e}^x-4,\]于是函数 $f'(x)$ 在 $(0,\ln 4)$ 上单调递减,在 $(\ln 4,+\infty)$ 上单调递增,结合\[\begin{split} f'\left(\dfrac 12\right)&=\sqrt{\rm e}-1>0,\\ f'(\ln 4)&=5-8\ln 2<0,\\ f'(2)&={\rm e}^2-7>0,\end{split}\]可得 $f(x)$ 在 $\left(\dfrac 12,2\right)$ 上有两个极值点,记为 $x_1,x_2$ 且\[\dfrac 12<x_1<\ln 4<x_2<2,\]则 $x=x_1$ 为极大值点,$x=x_2$ 为极小值点,只需要证明 $f(x_1)$ 与 $f(x_2)$ 均为正数.事实上,若 ${\rm e}^t-4t+1=0$,则\[f(t)={\rm e}^t-2t^2+t-1=(4t-1)-2t^2+t-1=(2-t)(2t-1),\]而 $x_1,x_2\in\left(\dfrac 12,2\right)$,于是 $f(x_1)$ 与 $f(x_2)$ 均为正数,命题得证.

备注      先处理对数,再处理指数.

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