每日一题[1508]分组求和

设 $f(n)$ 为最接近 $\sqrt[4]{n}$ 的整数,则 $\displaystyle\sum_{k=1}^{2018}\dfrac{1}{f(k)}=$ _______.

答案       $\dfrac{2823}7$.

解析       设 $f(k)=m$,则\[\left|\sqrt[4]k-m\right|<\dfrac 12\iff \left(m-\dfrac 12\right)^4<k<\left(m+\dfrac 12\right)^4,\]考虑到\[\left(m+\dfrac 12\right)^4-\left(m-\dfrac 12\right)^4=4m^3+m,\]因此满足 $f(k)=m$ 的 $k$ 有 $4m^3+m$ 个.因此\[\begin{array} {c|ccccccc}\hline m&1&2&3&4&5&6&7\\ \hline 4m^3+m&5&34&111&260&505&870&1379\\ \hline \sum&5&39&150&410&915&1785&>2018\\ \hline 4m^2+1&5&17&37&65&101&145&197\\ \hline \sum&5&22&59&124&225&370&\\ \hline \end{array}\]于是\[\sum_{k=1}^{2018}\dfrac{1}{f(k)}=\sum_{m=1}^6(4m^2+1)+\dfrac{2018-1785}7=\dfrac{2823}7.\]

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